[論文レビュー] Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I (Cohomology of Hurwitz spaces)

Сергей Константинович Ландо, Dimitri Zvonkine|ArXiv.org|Mar 18, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン球面への分岐被覆の数え上げに、ホモロジー的枠組みを構築する。特に、Hurwitz空間の部分多様体上でのLyashko–Looijenga写像の次数を、交線論と関連付ける。Hurwitz空間のコホモロジー代数を計算し、特に2つの二重臨界点と$ 2n-6 $個の単純臨界点をもつ$ n $次被覆の数について、新規の閉形式表現を得る。

ABSTRACT

The Hurwitz space is a compactification of the space of rational functions of a given degree. The Lyashko-Looijenga map assigns to a rational function the set of its critical values. It is known that the number of ramified coverings of CP^1 by CP^1 with prescribed ramification points and ramification types is related to the degree of the Lyashko--Looijenga map on various strata of the Hurwitz space. Here we explain how the degree of the Lyashko-Looijenga map is related to the intersection theory on this space. We describe the cohomology algebra of the Hurwitz space and prove several relations between the homology classes represented by various strata.

研究の動機と目的

• 与えられた次数の有理関数をパラメータ化するHurwitz空間のコホモロジー的記述を確立すること。
• Hurwitz空間の部分多様体上でのLyashko–Looijenga写像の次数を、分岐被覆の数え上げ不変量と関連付けること。
• Hurwitz空間上の交線数を計算し、指定された分岐型を持つ有理関数の同型類の数についての新しい公式を導出すること。
• 安定写像のモジュライ空間上の交線論を通じて、分岐被覆の数え上げの幾何学的・位相的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、無限遠点で自明な分岐を持つ、 genus zero 曲線から$ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $への安定写像の空間として、Hurwitz空間$ \mathcal{H}_n $を定義する。
• 有理関数からその臨界値の集合への写像であるLyashko–Looijenga写像を用い、固定された分岐型に対応する部分多様体上でのその次数を研究する。
• Hurwitz空間のコホモロジー代数を記述し、交線論を用いて部分多様体のホモロジー類の関係を導出する。
• 退化技術とその後続の論文[15]の結果、特に$ \overline{\mathcal{M}}_{n-1} $のモジュライ空間を用いて、有理関数族とcaustic$ C_n $の交線指数を計算する。
• 固定された極を持つ有理関数の導関数の判別式の次数を、パラメータに関する同次多項式として計算し、交線重みを特定する。
• 極が重なるような有理関数の退化を分析し、同次性と除因子的性質を用いて、部分多様体およびcausticとの交線指数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された分岐型を持つ$ n $次有理関数の同型類の数は、Hurwitz空間の対応する部分多様体上でのLyashko–Looijenga写像の次数とどのように関係しているか？
• RQ2 Hurwitz空間$ \mathcal{H}_n $のコホモロジー代数の構造は何か？ また、異なる分岐型に対応する部分多様体どうしの交線はどのように記述できるか？
• RQ3 Hurwitz空間上の交線論を用いて、$ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $から$ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $への指定された分岐プロファイルを持つ分岐被覆の数をどのように計算できるか？
• RQ4 一般の1パラメータ族の有理関数とcaustic$ C_n $の交線指数は何か？ また、その値は導関数の判別式の次数とどのように関係するか？

主な発見

• 臨界値が固定された$ n $次有理関数で、2つの二重臨界点と$ 2n-6 $個の単純臨界点をもつものの数は、公式$ h_{2,2} = \frac{3}{4}(27n^2 - 137n + 180) \frac{n^{n-6} (2n-6)!}{(n-3)!} $で与えられ、これは新規の結果である。
• 分岐型$ \kappa_1, \dots, \kappa_c $に対応する部分多様体上でのLyashko–Looijenga写像の次数は、その部分多様体とcaustic$ C_n $の交線数に等しく、退化およびモジュライ空間技法を用いて計算される。
• Hurwitz空間$ \mathcal{H}_n $のコホモロジー代数が記述され、異なる分岐型に対応する部分多様体はホモロジーにおいて特定の代数的関係を満たす。
• 一般の1パラメータ族の有理関数とcaustic$ C_n $の交線指数は$ 3(n-3) $であり、これは$ \overline{\mathcal{M}}_{n-1} $上のファイバーにおける導関数の判別式の次数から導かれる。
• 2つの成分に$ p $個と$ q $個の極をもつ有理関数の導関数の判別式の次数は、パラメータ$ u, v $に関して$ 2n(2n-3) $であり、$ u=0 $、$ v=0 $、および$ u/v = a_i/b_j $における既知の重複度を有し、残りの根は$ 6(pq-1) $個である。
• 族$ \sigma_{p,q} $とcaustic$ C_n $の交線は、$ \mathcal{H}_{n-1} \times \mathbb{C}^2 $への近傍同相を用いて計算され、その指数は一般ファイバーにおける$ C_{n-1} $の次数、すなわち$ 3(n-3) $に依存する。