[論文レビュー] Counting rational curves with multiple points and Gromov-Witten invariants of blow-ups

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Sep 14, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、点における $\mathbb{P}^n$ の爆発上のグロモフ・ワインバーグ不変量と、例外除集合に指定された多重点を持つ $\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線の数え上げとの間の幾何的対応を確立する。これらの不変量の明示的公式が得られ、安定写像の高次の接続条件を用いた研究を通じて、従来の方法では得られなかった $\mathbb{P}^n$ の新たな数え上げ不変量が得られる。

ABSTRACT

We study Gromov-Witten invariants on the blow-up of P^n at a point, which is probably the simplest example of a variety whose moduli spaces of stable maps do not have the expected dimension. It is shown that many of these invariants can be interpreted geometrically on P^n as certain numbers of rational curves having a multiple point of given order at the blown up point. Moreover, all these invariants can actually be calculated, giving enumerative invariants of P^n which have not been known before.

研究の動機と目的

• 安定写像のモジュライ空間が期待される次元を持たない点における $\mathbb{P}^n$ の爆発上のグロモフ・ワインバーグ不変量を理解すること。
• これらの不変量を、爆発点における指定された次数の多重点を持つ $\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線の数え上げとして幾何学的に解釈すること。
• これらの不変量を明示的に計算することで、古典的手法では到達できない $\mathbb{P}^n$ の新たな数え上げ不変量を取得すること。
• 退化および局所化技法を通じて、有理曲線の数え上げ幾何学と爆発のグロモフ・ワインバーグ理論との橋渡しをすること。

提案手法

• 点における $\mathbb{P}^n$ の爆発の幾何を用いて、爆発空間上の不変量を $\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線のインシデント条件に関連付ける。
• 特に仮想基本クラスと障害理論を用いたグロモフ・ワインバーグ理論の技法を応用し、爆発空間上の不変量を計算する。
• 安定写像と例外除集合に指定された多重点を持つ $\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線との間の対応を導入する。
• 局所化および退化法を用いて、元の $\mathbb{P}^n$ 上での組合せ的数え上げに不変量の計算を還元する。
• 安定写像へのモジュライ空間が期待される次元を持たないことを踏まえ、精細な不変量の必要性を動機づける。
• 例外除集合の構造に依存して、爆発点における $k$ 階の接続条件を、元の曲線への制約として符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点における $\mathbb{P}^n$ の爆発上のグロモフ・ワインバーグ不変量は、$\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線の古典的数え上げ幾何学の観点からどのように解釈できるか？
• RQ2 安定写像のモジュライ空間が期待される次元を持たない場合、グロモフ・ワインバーグ不変量の幾何的意味は何か？
• RQ3 高次の接続条件（多重点）に関連する不変量は、グロモフ・ワインバーグ理論を用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 この爆発不変量との対応から、$\mathbb{P}^n$ の新たな数え上げ不変量はどのようなものか？
• RQ5 局所化および退化法は、期待される次元と異なる設定において不変量を計算するためにどの程度有効に使えるか？

主な発見

• 本稿は、点における $\mathbb{P}^n$ の爆発上のグロモフ・ワインバーグ不変量と、爆発点における指定された次数の多重点を持つ $\mathbb{P}^n$ 内の有理曲線の数え上げとの間の明確な対応を確立する。
• 爆発空間上の多くのグロモフ・ワインバーグ不変量は、所定の接続条件を持つ有理曲線の数え上げとして幾何学的に意味を持つことが示された。
• これらの不変量は明示的に計算可能であり、文献に未だ報告のなかった $\mathbb{P}^n$ の新たな数値的不変量をもたらした。
• この手法により、安定写像のモジュライ空間の次元が期待値を上回る場合でも、不変量を体系的に計算する方法が得られた。
• 結果は、爆発構成を用いることで、接続制約を介して $\mathbb{P}^n$ から精細な数え上げ情報を抽出可能であることを示している。
• この枠組みにより、古典的数え上げ幾何学を、グロモフ・ワインバーグ理論を介した高次の接触条件を含む形に拡張可能である。