[論文レビュー] Counting Reducible Matrices, Polynomials, and Surface and Free Group Automorphisms

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数幾何と確率的方法を用いて、ℤおよび𝔽_p 上の可約多項式および可約特徴多項式をもつ行列の数に対する上界を確立する。写像類群のランダムな要素と自由群のランダムな自己同型は、それぞれホモロジーへの作用を分析し、消去理論とワイエル推定を適用することによって、ほとんど確実に擬・アノソフ的または強く可約でないことを示す。

ABSTRACT

We give upper bounds on the numbers of various classes of polynomials reducible over the integers and over integers modulo a prime and on the number of matrices in SL(n), GL(n) and Sp(2n) with reducible characteristic polynomials, and on polynomials with non-generic Galois groups. We use our result to show that a random (in the appropriate sense) element of the mapping class group of a closed surface is pseudo-Anosov, and that a random automorphism of a free group is strongly irreducible (aka irreducible with irreducible powers). We also give a necessary condition for all powers of an algebraic integers to be of the same degree, and give a simple proof (in the Appendix) that the distribution of cycle structures modulo a prime p for polynomials with a restricted coefficient is the same as that for general polynomials.

研究の動機と目的

• ℤおよび有限体上の可約多項式および特徴多項式が可約である行列の漸近的密度を特定すること。
• 閉じた曲面の写像類群のランダムな要素が擬・アノソフ的である確率を調査すること。
• 特に、S_d が係数の上限が大きくなるにつれて確率が1に近づくことを示す、ランダム行列および多項式のガロア群分布を分析すること。
• 自由群のランダム自己同型が強く可約でない（可約でないが、すべてのべきも可約でない）ことを証明すること。
• 制限付き係数を持つ多項式の巡回構造の分布が、制限なしの多項式と一致することを確立すること。

提案手法

• 固定次数の因子をもつ多項式の集合がアフィン超曲面に含まれることを示すために消去理論を用い、成長率の推定を可能にする。
• ラング＝ワイエルの定理を適用して、多様体上の𝔽_p-点の数を評価し、m次元多様体に対してO(p^m)の成長を導出する。
• 絶対的に可約でない曲線上の𝔽_p-点の数に対するワイエルの推定を用い、関数方程式の解の数を制御する。
• ヴァン・ダール・ヴァルデンのスリム法と算術級数内の素数に関するディリクレの定理を用いて、係数の上限が大きいときS_dが支配的になることを示す。
• 係数がx^{d-1}の項が0でない場合に限り、アフィン変換の作用によって軌道上での分裂型分布を等しくする。
• 定理30（X^n - a の可約性）および補題31（線形代入による置換制約）を用いて、例外的な場合を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数の絶対値がB未満の可約モニック多項式の漸近的密度は何か？（ℤ上、次数d）
• RQ2 係数の高さが増加するとき、SL(n, ℤ) に属する可約特徴多項式をもつ行列の数はどのように増加するか？
• RQ3 閉じた曲面の写像類群のランダムな要素が擬・アノソフ的である確率は何か？
• RQ4 制限付き係数を持つランダム多項式のガロア群の分布は何か？ そして、S_d に収束するか？
• RQ5 自由群のランダム自己同型は、ほとんど確実に強く可約でない（可約でないが、すべてのべきも可約でない）か？

主な発見

• 係数の絶対値がB未満のℤ上での可約モニック多項式の数は、O(B^{d-1}) 未満に成長することが示され、可約多項式が疎であることを示す。
• 大きな素数pに対して、定数項が1の多項式のpを法とする巡回構造の分布は、すべてのd次多項式と一致する。ただしd < p である。
• GL(N, ℤ) に属するランダム行列のガロア群は、係数の上限N → ∞ のとき、ほとんど確実に完全対称群S_Nである。
• GL(N, ℤ) に属するランダム行列のすべてのべきも、確率が1に近づくときガロア群がS_Nである。
• genus g の閉じた曲面の写像類群のランダムな要素は、語長が増加するにつれて、擬・アノソフ的である確率が1に近づく。
• 自由群のランダム自己同型は、確率が1に近づくとき、ほとんど確実に強く可約でない（可約でないが、すべてのべきも可約でない）である。