[論文レビュー] Counting solutions of quadratic congruences in several variables revisited

László Tóth|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、奇数の整数を法とする複数変数の二次合同式の解の個数を数えるための簡潔で直接的な証明を提供する。Minkowski や Bachmann、Cohen の結果を拡張し、Ramanujan の和、ヤコビ記号、モービウス関数を用いて明示的な式を得る。また、さまざまな k および n の値について、x 以下のすべての法 r における解の個数の和の新しい漸近公式を確立し、表現数や指標和への応用を含む。

ABSTRACT

Let $N_k(n,r,\\boldsymbol{a})$ denote the number of incongruent solutions of the quadratic congruence $a_1x_1^2+\\ldots+a_kx_k^2\\equiv n$ (mod $r$), where $\\boldsymbol{a}=(a_1,\\ldots,a_k)\\in {\\Bbb Z}^k$, $n\\in {\\Bbb Z}$, $r\\in {\\Bbb N}$. We give short direct proofs for certain less known compact formulas on $N_k(n,r,\\boldsymbol{a})$, valid for $r$ odd, which go back to the work of Minkowski, Bachmann and Cohen. We also deduce some other related identities and asymptotic formulas which do not seem to appear in the literature.

研究の動機と目的

• 奇数の r を法とする k 変数の二次合同式の解の個数を数えるための短く直接的な証明を提供すること。
• Cohen や Minkowski、Bachmann の既知の結果を、任意の係数 a₁,…,aₖ を含む形に一般化すること。
• 特定の k および n について、r ≤ x における解の個数 Nₖ(n,r) の和の新しい漸近公式を導出すること。
• 係数 (a₁,…,aₖ) ≠ (1,…,1) の非自明な係数を持つ二次形式、特に x²−y²≡1 および x²+y²≡z² (mod r) のような特別な合同式を含む場合に結果を拡張すること。
• ディリクレ級数および畳み込み法を用いて、解の和の漸近的挙動を確立し、明示的な誤差項を提示すること。

提案手法

• 加法的特徴の直交性を用いて、指数和を用いた三角和として解の個数 Nₖ(n,r,a) を表現する。
• ガウスの二次和の評価を用いて三角関数の式を簡略化し、高度な代数的数論を避ける。
• 乗法的性質およびディリクレ畳み込みを用いて、解の個数関数の算術的構造を分析する。
• モービウス関数およびヤコビ記号を用いて、k が奇数で、n と r が互いに素である場合を扱う。
• 既知のゼータ関数の恒等式を活用し、ディリクレ級数およびオイラー積の因数分解を用いて漸近公式を導出する。
• 素数べきを法とする場合に明示的な評価を行い、一般の r に対して乗法性を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の r を法とする k 変数の二次合同式の解の個数を数えるためのコンパクトな公式を、最小限の技術的道具でどのように導出できるか。
• RQ2 特に k=1,2,3,4 および n=0,1 の場合に、∑_{r≤x} Nₖ(n,r) の漸近的挙動は何か。
• RQ3 係数 a₁,…,aₖ がすべて 1 でない場合、例えば x²−y²≡1 (mod r) のように、解の個数 Nₖ(n,r,a) はどのように振る舞うか。
• RQ4 文献にない新しい恒等式、例えばジョルダン関数を含むものなど、Nₖ(n,r) に対して導出可能か。
• RQ5 すべての r ≤ x における解の個数の和の漸近展開における正確な誤差項は何か。

主な発見

• k ≡ 0 (mod 4) かつ r が奇数のとき、Nₖ(n,r) = r^{k-1} ∑_{d|r} c_d(n)/d^{k/2} が成り立ち、ここで c_d(n) は Ramanujan の和である。
• k ≡ 1 (mod 4)、r が奇数、gcd(n,r)=1 のとき、Nₖ(n,r) = r^{k-1} ∑_{d|r} μ²(d)/d^{(k-1)/2} (n/d) が成り立ち、ここで (n/d) はヤコビ記号である。
• k ≡ 2 (mod 4)、r が奇数のとき、Nₖ(n,r) = r^{k-1} ∑_{d|r} (-1)^{(d-1)/2} c_d(n)/d^{k/2} が成り立つ。
• k ≡ 3 (mod 4)、r が奇数、gcd(n,r)=1 のとき、Nₖ(n,r) = r^{k-1} ∑_{d|r} (-1)^{(d-1)/2} μ²(d)/d^{(k-1)/2} (n/d) が成り立つ。
• k ≡ 0 (mod 4)、r が奇数のとき、Nₖ(n,r) = r^{k/2−1} ∑_{d|gcd(n,r)} d·J_{k/2}(r/d) が成り立ち、ここで J_m はジョルダン関数である。
• 漸近公式：∑_{r≤x} N₄(1,r) = (2/(7ζ(3)))x⁴ + O(x³)、ここで ζ はリーマンのゼータ関数である。