[論文レビュー] Counting Subgraphs in Degenerate Graphs

Lior Gishboliner, Yevgeny Levanzov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非分割グラフにおけるコピーの数え上げを線形時間で行えるグラフ H を完全に特徴づけ、最近提案された線形時間の実行可能性の十分条件が必要条件でもあることを証明している。非分割グラフにおける誘導部分グラフ数え上げと同型写像数え上げに関する未解決問題を、新規の難易度技術を用いて解決している。

ABSTRACT

We consider the problem of counting the number of copies of a fixed graph $H$ within an input graph $G$. This is one of the most well-studied algorithmic graph problems, with many theoretical and practical applications. We focus on solving this problem when the input $G$ has bounded degeneracy. This is a rich family of graphs, containing all graphs without a fixed minor (e.g. planar graphs), as well as graphs generated by various random processes (e.g. preferential attachment graphs). We say that $H$ is easy if there is a linear-time algorithm for counting the number of copies of $H$ in an input $G$ of bounded degeneracy. A seminal result of Chiba and Nishizeki from '85 states that every $H$ on at most 4 vertices is easy. Bera, Pashanasangi, and Seshadhri recently extended this to all $H$ on 5 vertices, and further proved that for every $k > 5$ there is a $k$-vertex $H$ which is not easy. They left open the natural problem of characterizing all easy graphs $H$. Bressan has recently introduced a framework for counting subgraphs in degenerate graphs, from which one can extract a sufficient condition for a graph $H$ to be easy. Here we show that this sufficient condition is also necessary, thus fully answering the Bera--Pashanasangi--Seshadhri problem. We further resolve two closely related problems; namely characterizing the graphs that are easy with respect to counting induced copies, and with respect to counting homomorphisms. Our proofs rely on several novel approaches for proving hardness results in the context of subgraph-counting.

研究の動機と目的

• 非分割グラフにおけるコピーの数え上げを線形時間で行えるすべてのグラフ H を完全に特徴づけること。
• Bera, Pashanasangi, および Seshadhri が提起した「容易な」グラフ H を特徴づける未解決問題を解決すること。
• 非分割グラフにおける誘導部分グラフ数え上げと同型写像数え上げへの特徴づけの拡張すること。
• 部分グラフ数え上げの実行可能性に関する最近提案されたフレームワークの十分性と必要性を両方確立すること。

提案手法

• 非分割グラフにおける部分グラフ数え上げのための Bressan のフレームワークを活用し、線形時間実行可能性の十分条件を導出すること。
• Bressan のフレームワークから得られる十分条件が、必要条件でもあることを証明することで、容易なグラフ H を完全に特徴づけること。
• 非分割性の文脈における部分グラフ数え上げ問題に特化した新規の難易度技術を開発すること。
• 有界非分割性グラフにおける実行可能性を決定づけるグラフ H の構造的性質を分析すること。
• 組合せ的およびグラフ理論的議論を用いて、部分グラフ数え上げの複雑さに関するタイトな境界を確立すること。
• 誘導部分グラフ数え上げおよび同型写像数え上げへの分析を拡張し、類似した特徴づけを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界非分割性を持つグラフにおいて、どのグラフ H がコピーの数え上げを線形時間で行えるか？
• RQ2 Bressan が提案した実行可能性の十分条件が、非分割グラフにおける線形時間部分グラフ数え上げにおいて、必要かつ十分であるか？
• RQ3 容易なグラフ H の特徴づけを、非分割グラフにおける誘導部分グラフ数え上げへ拡張できるか？
• RQ4 同じフレームワークを、非分割グラフにおける同型写像数え上げに適用できるか？
• RQ5 H のどの構造的性質が、非分割グラフにおける数え上げが容易であるかどうかを決定づけるか？

主な発見

• Bressan が提案した非分割グラフにおける線形時間部分グラフ数え上げの十分条件が、必要条件でもあることから、すべての容易なグラフ H を完全に特徴づけた。
• すべての頂点数が 5 以下のグラフ H は、非分割グラフにおいて数え上げが容易であることが確認され、かつそれ以前の結果を拡張した。
• すべての k > 5 に対して、数え上げが容易でない k 頂点グラフ H が存在することを確認し、問題の閾値的挙動を裏付けた。
• 容易なグラフ H の特徴づけは、誘導部分グラフ数え上げへ拡張され、完全な分類が得られた。
• フレームワークは同型写像数え上げに対しても完全な特徴づけをもたらし、類似した必要十分条件が得られた。
• 非分割性の文脈における部分グラフ数え上げ問題に特化した、新規の難易度技術を確立した。