[論文レビュー] Counting triangles in power-law uniform random graphs

Pu Gao, Remco van der Hofstad+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、次数指数 τ ∈ (2,3) のスパースな一様ランダムグラフで、次数分布がパワー則に従う場合の漸近的三角形数を導出する。スイッチング法と次数が √n に比例する頂点の解析を用いて、三角形数が確率的に定数に収束することを示し、一様ランダムグラフは消去された構成モデルよりも多くの三角形を含むことを示す。また、局所的クラスタリング係数 c(k) は、k の異なる次数範囲で異なるスケーリング行動を示す。

ABSTRACT

We count the asymptotic number of triangles in uniform random graphs where the degree distribution follows a power law with degree exponent $τ\in(2,3)$. We also analyze the local clustering coefficient $c(k)$, the probability that two random neighbors of a vertex of degree $k$ are connected. We find that the number of triangles, as well as the local clustering coefficient, scale similarly as in the erased configuration model, where all self-loops and multiple edges of the configuration model are removed. Interestingly, uniform random graphs contain more triangles than erased configuration models with the same degree sequence. The number of triangles in uniform random graphs is closely related to that in a version of the rank-1 inhomogeneous random graph, where all vertices are equipped with weights, and the edge probabilities are moderated by asymptotically linear functions of the products of these vertex weights.

研究の動機と目的

• τ ∈ (2,3) の場合における、次数がパワー則に従う一様ランダムグラフにおける三角形数の漸近的数を特定すること。
• 局所的クラスタリング係数 c(k) の分析、ここで c(k) は次数 k の頂点の2つの隣接頂点が接続されている確率として定義される。
• 一様ランダムグラフと消去された構成モデル、およびランク1非一様ランダムグラフにおける三角形数を比較すること。
• 三角形数の主な寄与を次数が √n に比例する頂点から特定すること。

提案手法

• スパースな状態において三角形数を支配する次数が √n に比例する頂点の三角形数を数えるためにスイッチング法を適用する。
• 漸近的数え上げ技術と測度論的解析を用いて、一様ランダムグラフモデルにおけるエッジ確率とクラスタリングを推定する。
• 次数 k の頂点を条件として、その2つの隣接頂点が接続されている確率を計算することで、局所的クラスタリング係数 c(k) を分析する。
• 異なる次数範囲からの寄与を分析することで、スケーリングされた三角形数が定数に確率的に収束することを確立する。
• 一般化されたランダムグラフモデルを代理として用い、一様モデルと同様の漸近的スケーリングを示し、三角形の挙動を理解する。
• 積分式における ε ↓ 0 の極限を取ることで、4つの異なる次数範囲にわたる c(k) の正確な漸近的定数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 τ ∈ (2,3) の場合における、次数がパワー則に従う一様ランダムグラフにおける三角形数は、どのように漸近的にスケーリングするか？
• RQ2 このようなグラフにおける局所的クラスタリング係数 c(k) は、頂点次数 k の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ3 なぜ一様ランダムグラフは、同じ次数列を持つ消去された構成モデルよりも多くの三角形を含むのか？
• RQ4 三角形数の主な寄与はどのような頂点次数から来るのか？また、どの次数範囲が漸近的挙動を決定づけているか？
• RQ5 一般化されたランダムグラフモデルにおける結果は、三角形およびクラスタリング挙動の観点から、一様ランダムグラフモデルとどのように比較できるか？

主な発見

• τ ∈ (2,3) の一様ランダムグラフにおけるスケーリングされた三角形数は、確率的に定数に収束し、主な寄与は次数が √n に比例する頂点から生じる。
• 局所的クラスタリング係数 c(k) は、小さい k（範囲 I）では漸近的に k に依存せず、中程度の k（範囲 II）では k に対してゆっくりと減少し、大きな k（範囲 IV）では k のべき乗として減少する。
• 同じ次数列を持つ場合、一様ランダムグラフは消去された構成モデルよりも多くの三角形を含み、これは両者が漸近的に同値であるという一般的な仮定に反する。
• 三角形数の漸近的定数は τ と次数列パラメータに依存し、関数 A(ε) 及びその極限 A = π / sin(πτ) を含む積分の極限を取ることで明示的な式が得られる。
• k が範囲 IV（k = Θ(n^{1/(τ−1)})) にある場合、局所的クラスタリング係数 c(k) は定数を乗じた k^{3−2τ} としてスケーリングされ、べき乗則の減少を示す。
• 解析により、一般化されたランダムグラフモデルは、次数列の実現方法に差があるものの、一様ランダムグラフモデルと同様の漸近的三角形挙動を捉えていることが確認された。