[論文レビュー] Coupled Classical and Quantum Oscillators

R. M. McDermott, Ian H. Redmount|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Mechanical and Optical Resonators参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2つの線形に結合された振動子を用いて、量子調和振動子と古典的調和振動子の相互作用をモデル化する。初期状態では一方の振動子が量子基底状態に、他方がコherent（古典的）な状態にある。波動関数の正確な時間発展が解析的に解かれ、量子振動子が時間に依存する量子スリーピングを示すことが判明した。位置の不確定性は基底状態の値を下回り、運動量の不確定性は上昇し、不確定性積はハイゼンベルクの不確定性関係を超過するが、その違反は生じない。これは量子コherー二ンスの喪失に類似した振る舞いを示す。

ABSTRACT

Some of the most enduring questions in physics--including the quantum measurement problem and the quantization of gravity--involve the interaction of a quantum system with a classical environment. Two linearly coupled harmonic oscillators provide a simple, exactly soluble model for exploring such interaction. Even the ground state of a pair of identical oscillators exhibits effects on the quantum nature of one oscillator, e.g., a diminution of position uncertainty, and an increase in momentum uncertainty and uncertainty product, from their unperturbed values. Interaction between quantum and classical oscillators is simulated by constructing a quantum state with one oscillator initially in its ground state, the other in a coherent or Glauber state. The subsequent wave function for this state is calculated exactly, both for identical and distinct oscillators. The reduced probability distribution for the quantum oscillator, and its position and momentum expectation values and uncertainties, are obtained from this wave function. The oscillator acquires an oscillation amplitude corresponding to a beating between the normal modes of the system; the behavior of the position and momentum uncertainties can become quite complicated. For oscillators with equal unperturbed frequencies, i.e., at resonance, the uncertainties exhibit a time-dependent quantum squeezing which can be extreme.

研究の動機と目的

• 2つの線形に結合された調和振動子の簡単で正確に解ける系を用いて、量子系と古典的環境との相互作用をモデル化すること。
• 1つの振動子に古典的挙動が及ぼす影響が、他方の量子的性質（特に位置と運動量の不確定性）にどのように作用するかを調査すること。
• 1つの振動子を古典的、他方を量子的とみなすことにより、量子測定問題や量子重力結合のシナリオを模擬すること。
• 共鳴および非共鳴条件下での、量子振動子の期待値および不確定性の時間発展を分析すること。
• 量子スリーピングと不確定性の交換が、ハイゼンベルクの不確定性原理に違反することなく生じることを示すこと。

提案手法

• 質量、ばね定数、結合強度を含むハミルトニアンで記述される、線形結合を持つ2つの調和振動子として系をモデル化する。
• 正準モード分解を用いて波動関数を構成し、結合系を新たな周波数を持つ2つの独立な振動子に変換する。
• 初期状態として、1つの振動子をその量子基底状態に、他方をコherent（Glauber）状態に設定し、古典的挙動を表現する。
• 正準モードの調和振動子伝播子を用いて、全波動関数の正確な時間発展を計算する。
• 全波動関数から縮約密度行列および位置・運動量の期待値を導出する。
• 不確定性とその時間依存性を解析的に計算し、振動的挙動およびスリーピング効果を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子調和振動子を古典的振動子と結合させると、その量子振動子の位置と運動量の不確定性はどのように変化するか？
• RQ2 量子振動子を古典的振動子と結合させた系の時間発展を正確に解けるか。また、どのような動的特徴が現れるか？
• RQ3 この系は量子スリーピングを示すか。また、位置の不確定性が基底状態の値を下回るような状態に達するか？
• RQ4 共鳴条件下での不確定性積はどのように変化するか。また、ハイゼンベルクの限界を超過するが、その違反は生じるか？
• RQ5 量子振動子の振る舞いは、量子-古典結合におけるデコherenceや「量子性の放射」に類似しているか、あるいは異なるか？

主な発見

• 初期に量子状態にあった振動子の位置の不確定性は、結合により元の基底状態の値を下回り、共鳴条件下では任意に小さい値にまで低下する。
• 運動量の不確定性は元の値を上回り、不確定性積はハイゼンベルク最小値 ℏ/2 を上回る振動的挙動を示す。
• 共鳴（元の未摂動周波数が等しい）条件下では、時間に依存する量子スリーピングが顕在化し、位置の不確定性は基底状態値を下回り、運動量の不確定性は上回る。
• 量子振動子の位置期待値は、正準モード周波数間のベーピングパターンを示し、コherーントな振動を示している。
• この振るまいは、量子光学や重力波探査で観測される量子スリーピングと一致するが、不確定性原理に違反しない。
• 本モデルは、測定問題や量子重力に関連する効果を解析的に取り扱えるフレームワークを提供する。