[論文レビュー] Coupled fixed point theorems for $\phi$-contractive mixed monotone mappings in partially ordered metric spaces

Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用数 53

ひとこと要約

本稿では、部分的に順序付けられた距離空間における混合単調写像について、従来の収縮仮定を弱める一般化された φ-収縮条件を導入することで、新たな結合固定点定理を確立する。この方法は、反復列間の平均距離に (ϕ, ψ)-収縮条件を適用し、従来の研究よりも緩い条件下でも結合固定点の存在と一意性を保証する。主な貢献は、より弱いリプシッツ型仮定のもとで非線形フリードホルム積分方程式に適用可能な、より広範な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper we extend the coupled fixed point theorems for mixed monotone operators $F:X imes X ightarrow X$ obtained in [T.G. Bhaskar, V. Lakshmikantham, extit{Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications}, Nonlinear Anal. extbf{65} (2006) 1379-1393] and [N.V. Luong and N.X. Thuan, extit{Coupled fixed points in partially ordered metric spaces and application}, Nonlinear Anal. extbf{74} (2011) 983-992], by weakening the involved contractive condition. An example as well an application to nonlinear Fredholm integral equations are also given in order to illustrate the effectiveness of our generalizations.

研究の動機と目的

• 従来の混合単調写像に関する結合固定点定理を、収縮条件を弱める形で一般化すること。
• 従来の研究よりも制限の厳しい仮定を必要としない非線形積分方程式への固定点結果の適用範囲を拡大すること。
• Bhaskar と Lakshmikantham (2006) や Luong と Thuan (2011) の先行研究を統合的かつ改善する対称的・平均化された収縮条件を通じて、それらの結果を統一・拡張すること。
• 写像の連続性を仮定せず、代替的な完備性仮定を用いることで、結合固定点の存在と一意性を確立すること。
• 非線形フリードホルム積分方程式への応用を通じて、新規枠組みの有効性を示すこと。

提案手法

• Φ に属する関数 ϕ と Ψ に属する関数 ψ を用いた新たな収縮条件を導入する。ここで ϕ は連続的かつ非減少であり、t > 0 に対して ϕ(t) < t を満たし、ψ は下半連続的で t > 0 のとき ψ(t) > 0 である。
• 積集合空間 X×X に距離 d₂ を d₂((x,y),(u,v)) = [d(x,u) + d(y,v)]/2 で定義し、(X,d) が完備ならば (X×X, d₂) も完備であることを保証する。
• 結合固定点問題を、T: X×X → X×X を T(x,y) = (F(x,y), F(y,x)) で定義する作用素 T の固定点問題に変換する。
• T に (ϕ,ψ)-収縮条件を適用する：Y ≥ V の順序で Y, V ∈ X×X に対して ϕ(d₂(TY, TV)) ≤ ϕ(d₂(Y,V)) − ψ(d₂(Y,V)) が成り立つ。
• 初期対 (x₀, y₀) が x₀ ≤ F(x₀,y₀), y₀ ≥ F(y₀,x₀) またはその逆不等式を満たす場合に、ピカール反復法を用いて列 (xₙ, yₙ) を生成する。
• 距離列の非増加性と ϕ, ψ の性質を用いて、列の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bhaskar と Lakshmikantham の結合固定点定理における収縮条件は、結合固定点の存在と一意性を保ちつつ弱められるか？
• RQ2 混合単調写像に関する結合固定点定理において、F に対する連続性仮定はどの程度緩められるか？
• RQ3 新規の収縮条件は、従来の結果よりも弱い仮定のもとで非線形フリードホルム積分方程式の解の存在と一意性を示すために適用可能か？
• RQ4 以前の条件と比較して、新規の対称的収縮条件は一般性と適用範囲においてどのように優れているか？
• RQ5 反復スキームの収束において、二重初期条件 (x₀ ≥ F(x₀,y₀), y₀ ≤ F(y₀,x₀)) の果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、Bhaskar と Lakshmikantham (2006) や Luong と Thuan (2011) の結果よりも厳密に弱い収縮条件を満たす一般化された (ϕ,ψ)-収縮条件のもとで、新たな結合固定点定理を確立した。
• F の連続性の仮定、あるいは仮定 1.1（逐次順序完備性）の下で、結合固定点の存在と一意性が証明され、従来の結果が拡張された。
• 初期条件 (1.1) および (1.2) が満たされない場合でも、新規条件を満たす例が提示された。
• 新規枠組みは非線形フリードホルム積分方程式に適用され、Luong と Thuan (2011) よりも厳密に弱い仮定のもとで解の存在と一意性が保証された。
• 条件 (λ + μ) · sup_t ∫_a^b |K₁(t,s) − K₂(t,s)| ds ≤ 1 が、2 max{λ,μ} · sup_t ∫_a^b |K₁(t,s) − K₂(t,s)| ds > 1 である場合でも、積分方程式に一意解が存在することを示すのに十分である。これは、従来の条件が無効である場合でも成立する。
• 証明技法から、二重初期条件 (x₀ ≥ F(x₀,y₀), y₀ ≤ F(y₀,x₀)) に対しても収束が成立することが明らかになり、この方法の適用範囲が拡張された。