[論文レビュー] Couples de Jacobiennes isogenes de courbes hyperelliptiques de genre arbitraire

Jean-François Mestre|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の genus $g \geq 2$ に対して、Jacobian が $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-同種であるペアの超楕円曲線 $(C, C')$ をパラメトライズする次元 $g+1$ の族を構成する。この構成は、対称多項式と有理関数を用いた 2 対 2 対応によって行われ、$C$ のJacobianが絶対的に単純であることを証明し、モジュライ空間において一般には同型でないことを示す。

ABSTRACT

For any genus g greater than 1, we construct a family of dimension g+1 of pairs of hyperelliptic curves of genus g whose jacobian are 2^g isogeneous. ----- Pour tout genre g superieur ou egal a 2, nous construisons une famille a g+1 parametres de courbes de genre g telles qu'il existe une 2^g-isogenie entre leurs jacobiennes.

研究の動機と目的

• 任意の genus $g \geq 2$ に対して、超楕円曲線ペアの Jacobian が $2^g$-同種であるものが存在するかという未解決問題を解消すること。
• 有理関数の体上の明示的かつ代数的な族を構成すること。
• すべての $g \geq 2$ に対して、曲線 $C$ のJacobianが絶対的に単純であることの証明。
• この族が超楕円曲線のモジュライ空間に写す像の次元が $g+1$ であることの証明。
• 対称多項式の恒等式と有理変換を用いて、古典的な Richelot 対応を任意の genus に一般化すること。

提案手法

• 不定元 $a_1, \dots, a_g, v$ を用いて、2 つの超楕円曲線 $C$ と $C'$ を定義する。$C$: $y^2 = (x-v)(vx-1)\prod_{i=1}^g (x^2 - a_i)$ および $C'$: $y^2 = (x-v)(vx - (-1)^g)\prod_{i=1}^g (x^2 - b_i)$、ただし $b_i = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$。
• 対称多項式 $S(x,z) = x^2 z^2 - v^2(x^2 + z^2) + 1$ を導入し、$S(x,z) = 0$ および $yt = M(x,z)(v^2 + 1)(1 - xv - zv + xz)$ を用いて、$C \times C'$ に含まれる対応 $\Gamma$ を定義する。
• 多項式の恒等式を $S(x,z)$ を法として用いることで、対応 $\Gamma$ が $J(C)$ と $J(C')$ 間の $2^g$-同種を誘導することを示し、核が次数 0 の被覆 $[\sqrt{a_i}, 0] - [-\sqrt{a_i}, 0]$ で生成されることを示す。
• $\Gamma' \circ \Gamma$ が $\mathrm{Pic}^0(C)$ 上で 2 倍写像として作用することを証明することで、同種が次数 $2^g$ であることを確認する。
• Weierstrass点の配置を保つのは $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ の形の射影変換のみであることを示すことにより、族の一般次元が $g+1$ であることを証明する。
• 数学的帰納法と特殊化（奇数 $g$ の場合に $a_g = 0$ を代入するなど）を用いて、偶数 genus から奇数 genus への構成の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $g \geq 2$ に対して、次元 $g+1$ の族が、Jacobians が $2^g$-同種である超楕円曲線ペアをパラメトライズするものとして存在するか？
• RQ2 このような族は、対称有理関数と多項式の恒等式を用いて明示的に構成可能か？
• RQ3 すべての $g \geq 2$ に対して、曲線 $C$ のJacobianは絶対的に単純か？
• RQ4 この族のモジュライ空間における像の次元は何か？
• RQ5 特殊化を用いて、偶数 genus から奇数 genus へ構成を拡張可能か？

主な発見

• 任意の $g \geq 2$ に対して、Jacobians が $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-同種であるペアの超楕円曲線をパラメトライズする次元 $g+1$ の族が存在する。
• Frobeniusトレースの計算と $g$ に関する帰納法を用いて、すべての $g \geq 2$ に対して $C$ のJacobianが絶対的に単純であることが示された。
• この族が超楕円曲線のモジュライ空間に写す像の次元は $g+1$ である。これは、Weierstrass点の配置を保つのは $\mathrm{PGL}_2$-変換 $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ のみであることを示すことによって証明された。
• $g=2$ の場合、この構成は古典的な Richelot 対応を回復する。
• 偶数 $g$ の場合、$a_{g/2+i} = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$ を用いた構成により、Jacobians が $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上で自己準同型をもつ曲線が得られる。
• 対応 $\Gamma$ が次数 $2^g$ の同種を誘導することを、$\Gamma' \circ \Gamma$ が $\mathrm{Pic}^0(C)$ 上で 2 倍写像として作用することを示すことによって確認した。