[論文レビュー] Coupling a branching process to an infinite dimensional epidemic process

A. D. Barbour|ArXiv.org|Oct 19, 2007

COVID-19 epidemiological studies参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続時間のマコフ連鎖感染症過程（血吸虫症のBKモデル）と分岐過程の間の結合を確立し、$ M_N = o(N^{2/3}) $ までの感染発生までに、それらが高確率で一致することを示している。主な貢献は、漸近的に小さい全変動距離を有する厳密なパスワイズ結合であり、これにより、従来の $ o(N^{1/2}) $ に制限されていた結果を拡張した。尤度比解析とマルティングール集中不等式を用いて、逸脱を制御した。

ABSTRACT

Branching process approximation to the initial stages of an epidemic process has been used since the 1950's as a technique for providing stochastic counterparts to deterministic epidemic threshold theorems. One way of describing the approximation is to construct both branching and epidemic processes on the same probability space, in such a way that their paths coincide for as long as possible. In this paper, it is shown, in the context of a Markovian model of parasitic infection, that coincidence can be achieved with asymptotically high probability until o(N^{2/3}) infections have occurred, where N denotes the total number of hosts.

研究の動機と目的

• 感染症過程と分岐過程のパスワイズ結合の範囲を、従来の $ o(N^{1/2}) $ の閾値を超えて拡張すること。
• 感染発生数 $ M_N = o(N^{2/3}) $ までに、感染症過程と分岐過程の間の全変動距離が漸近的に小さいことを確立すること。
• 連続時間かつ無限次元の感染症モデル（例：寄生虫感染症のBKモデル）に対する厳密な結合フレームワークを構築すること。
• パスに沿った感染症過程と分岐過程の尤度比を分析し、それらの相対的な近接度を定量化すること。
• マルティングール集中不等式を適用して、結合フレームワーク内での尤度比の逸脱を制御すること。

提案手法

• 同一の確率空間上に、無限次元のBKモデル感染症過程と分岐過程の間の結合を構築すること。
• 長さ $ M $ のパスに沿った二つの過程の尤度比を用いて、それらの相対的近接度を評価すること。
• マーティンゲール集中不等式（補題4.1）を適用して、対数尤度比過程の尾確率を抑えること。
• 感染発生数 $ M $ までに尤度比を制御するための停止時刻 $ t' $ を定義し、その時刻までにパス一致を保証すること。
• 結合失敗確率を抑えるために、$ \text{Pr}[ ilde{L}_M^N - 1 > 1] $ および $ \text{Pr}[|1 - ilde{L}_M^N| > \varepsilon_{M,N}^r / 2] $ を用いること。
• 許容誤差 $ \varepsilon_{M,N}^r = C_r \psi(M,N) \sqrt{\log(1/\psi(M,N))} $ による相対的近接度を確立し、ここで $ \psi(M,N) = S_M \sqrt{M}/N $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間かつ無限次元のモデルにおいて、感染症過程と分岐過程のパスワイズ結合の範囲を $ o(N^{1/2}) $ 以上の感染発生数まで拡張可能か？
• RQ2 感染発生数 $ M_N $ までに、感染症過程と分岐過程の間の尤度比が高確率で1に近いかつて保たれるための条件は何か？
• RQ3 マルティングール集中不等式は、結合フレームワーク内での尤度比の逸脱をどのように制御できるか？
• RQ4 BKモデルにおける、感染症過程と分岐過程の全変動距離の最適収束速度は何か？
• RQ5 $ o(N^{2/3}) $ までの感染発生までに、分岐過程が感染症過程の有効な近似となる条件は何か？

主な発見

• 感染症過程と分岐過程は、$ M_N = o(N^{2/3}) $ までの感染発生までに、漸近的に高い確率でパスが一致するように結合可能である。
• 同じ条件下で、感染症過程と分岐過程のパス分布間の全変動距離は漸近的に小さい。
• マーティンゲール集中により尤度比がきめ細かく制御されており、補題4.1から導かれる尾確率の境界が得られている。
• 結合誤差は $ \varepsilon_{M,N}^r = C_r \psi(M,N) \sqrt{\log(1/\psi(M,N))} $ で抑えられ、ここで $ \psi(M,N) = S_M \sqrt{M}/N $ である。このことにより、相対的近接度が保証される。
• 条件 $ M \geq (1/5)C_r^2 \log N $ および $ \varepsilon_{M,N}^r \leq 1 $ を満たせば、この境界は成立し、大規模集団における近似の有効性が保証される。
• 本研究の結果は、BallとDonnelly（1995）の先行研究を改善しており、彼らは $ o(N^{1/2}) $ までしか結合を示していなかったが、本稿では $ o(N^{2/3}) $ まで拡張した。