[論文レビュー] Coupling Brownian motion and heat equation: Toward a new description of multi-nature phenomena

Emiliano Cristiani|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ブラウン運動のランジュバン方程式とフォッカー・プランク方程式を統合する、新しいマルチスケール結合フレームワークを提案する。これにより、確率的粒子運動と連続体拡散のハイブリッド記述が可能になる。先行する広義の対流に基づく現象に特化したマルチスケールモデルを拡張することで、粒子運動と巨視的熱拡散の結合を通じて、波動-粒子二重性のような多様な性質を示す現象をモデル化する基盤的ステップを提供する。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with a nonstandard application of the mul-tiscale model presented in [Cristiani et al., Multiscale Model. Simul., 9 (2011), 155–182]. That approach was originally proposed to couple a microscopic and a macroscopic model which describe the same advection-based phenomenon. Here we extend this approach in the direction of coupling the Langevin equation for a particle with the associated Fokker-Plank equation, in order to describe, in a multiscale fashion, multi-nature phenomena like the wave-particle duality in quantum mechanics. As a preliminary attempt, we consider here the simple case of the Brownian motion coupled with the heat equation. 1

研究の動機と目的

• 対流に基づく現象に特化したマルチスケールモデルの枠組みを、確率的拡散過程へと拡張すること。
• 微視的粒子運動（ランジュバン方程式）と巨視的連続体方程式（フォッカー・プランク方程式／熱方程式）の結合を調査すること。
• 波動-粒子二重性のような多様な性質の現象を、ハイブリッド確率的・連続体的手法を用いて理論的に記述する基盤を確立すること。
• 熱方程式が、一貫性のあるマルチスケールフレームワーク内でのブラウン運動の巨視的対応として使用可能かどうかを検討すること。

提案手法

• クリスティアーニら（2011）のマルチスケールモデルを改変し、粒子レベルのランジュバン運動とフォッカー・プランク方程式を結合する。
• フォッカー・プランク方程式を、対流項のない場合に熱方程式に等価な粒子密度の時間発展の巨視的記述として用いる。
• 確率的粒子軌道と変化する確率密度関数の間の整合性を保証する結合メカニズムを導入する。
• アプローチの妥当性を検証するため、標準的ブラウン運動の簡単なケースにフレームワークを適用し、より複雑な現象への拡張に移る。
• 個々の粒子がランジュバン運動に従う一方で、系全体の挙動は決定論的熱方程式によって記述されるハイブリッドモデリング戦略を採用する。
• ブラウン運動のフォッカー・プランク方程式と熱方程式との数学的同等性に依拠し、結合を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動のランジュバン方程式を、マルチスケールフレームワーク内でフォッカー・プランク方程式と一貫して結合する方法は何か？
• RQ2 確率的粒子運動が支配する系において、熱方程式が巨視的記述として果たす役割は何か？
• RQ3 提案された結合メカニズムは、ブラウン運動の統計的性質を保持しつつ、巨視的予測を可能にするか？
• RQ4 このアプローチは、波動-粒子二重性のようなより複雑な多様な性質の現象へと一般化可能か？
• RQ5 粒子レベルと連続体レベルの記述が、動的に整合的であるための条件は何か？

主な発見

• 提案された結合フレームワークは、ランジュアル方程式とフォッカー・プランク方程式を成功裏に統合し、微視的粒子運動と巨視的拡散の間の整合性を示した。
• 標準的ブラウン運動の状況において、フォッカー・プランク方程式の巨視的極限として熱方程式が自然に出現し、アプローチの妥当性が裏付けられた。
• 確率的粒子運動と決定論的連続体方程式の橋渡しを通じて、多様な性質の現象をモデル化する基盤を確立した。
• フレームワークはブラウン運動を越えて拡張可能であり、波動-粒子二重性を示すような複雑な系のモデル化への道筋を提供する。
• 結合メカニズムにより、確率密度関数が熱方程式に従って進化する一方で、個々の粒子軌道はランジュバン運動に従うことが保証された。
• 本アプローチは、粒子レベルとシステムレベルの挙動を同時にモデル化し、互いに整合的であるマルチスケール記述を提供する。