[論文レビュー] Coupling of HDG with a double-layer potential BEM

Zhixing Fu, Norbert Heuer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非有界領域における伝達問題を解くために、二重層ポテンシャル表現に基づくハイブリッド非連続ガラーキン（HDG）法と境界要素法（BEM）の間の新規非対称結合法を提案する。この手法は離散的均一強凸性を保証し、すべての変数について最適収束率$ olinebreak[0]\mathcal{O}(h^{k+1})$を達成する。さらに、特定の場の収束率は$ olinebreak[0]\mathcal{O}(h^{k+2})$の超収束を示し、数値実験により検証されている。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a new coupling procedure for the Hybridizable Discontinuous Galerkin Method with Galerkin Boundary Element Methods based on a double layer potential representation of the exterior component of the solution of a transmission problem. We show a discrete uniform coercivity estimate for the non-symmetric bilinear form and prove optimal convergence estimates for all the variables, as well as superconvergence for some of the discrete fields. Some numerical experiments support the theoretical findings.

研究の動機と目的

• 有界領域における変数係数拡散問題と外部領域におけるラプラス方程式を含む伝達問題に対して、安定で非対称なHDGとBEMの結合法の開発。
• 特に変数拡散係数を伴う非対称HDG-BEM定式化における強凸性の証明という解析的課題を克服すること。
• HDGおよびBEMのすべての変数について最適収束率を確立し、特にスカラーおよびフラックス近似における超収束を達成すること。
• HDGの利点（自由度の削減と後処理の可能性）を保ちつつ、BEMを用いて非有界領域へ拡張するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 外部領域の解を界面における単層ポテンシャルとして表現する二重層ポテンシャル表現を用い、外部問題を境界積分方程式に還元する。
• スケルトン上でのスカラー場、フラックス、トレース未知数に次数$k \geq 0$の多項式を用いて、内部領域にHDG法を適用する。
• BEM部では二重層ポテンシャル作用素$\mathcal{W}$を用い、$H^{1/2}(\Gamma)$上で有界かつ強凸であることが示され、安定性解析が可能となる。
• HDGの弱形式とBEMの積分方程式を結合して非対称な変分定式化を構築し、単一の非対称双線形形式を導出する。
• 離散的強凸性は、メッシュサイズ$h$および多項式次数$k$に対して一様に証明され、二重層作用素の性質とトレース推定に依存する。
• HDG解の後処理により、$\mathcal{O}(h^{k+2})$のオーダーで超収束近似を回復可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数拡散問題に対して、離散的強凸性と最適収束率を保証する非対称HDG-BEM結合が構築可能か？
• RQ2 内部領域における拡散係数$\kappa$の大きさが、結合HDG-BEM定式化の安定性および条件数に与える影響は？
• RQ3 非対称結合において、BEM部に二重層ポテンシャル表現を用いることで、他のBEM定式化と比較して安定性および収束性が向上するか？
• RQ4 二重層ポテンシャルを介したBEM結合において、HDG変数における超収束が維持可能か？
• RQ5 この結合定式化で最適収束が得られるための、領域および解の最小限の正則性仮定は何か？

主な発見

• 二重層ポテンシャルに基づく提案されたHDG-BEM結合は、非対称双線形形式に対して離散的均一強凸性を達成し、離散系の適切な定義を保証する。
• HDG変数すべて（スカラー場$u_h$、フラックス$\mathbf{q}_h$、トレース未知数$\widehat{u}_h$）について、最適収束率$\mathcal{O}(h^{k+1})$が証明された。
• HDGスカラーおよびフラックス近似において、$\mathcal{O}(h^{k+2})$のオーダーで超収束が達成され、高精度な後処理が可能となる。
• $\kappa^{-1} \in L^\infty(\Omega)$を満たす限り、$\kappa$の大きさにかかわらず、手法は安定かつ収束する。これは、一部の対称結合と比較して顕著な利点である。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、多角形および多面体領域に対しても有効であることが示された。
• 二重層ポテンシャルの使用により、外部解が自然に放射条件を満たし、非凸および非連結領域に対しても容易に対処可能となる。