[論文レビュー] Courant Algebroids and Strongly Homotopy Lie Algebras

Dmitry Roytenberg, Alan Weinstein|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 115

ひとこと要約

この論文は、リー双代数バンドルの二重構造や、コルダン括弧を持つ標準的TM ⊕ T*Mを一般化する構造を備えたコルダン代数的構造が、自然な強いかい合性リ代数（L∞-代数）構造を有することを確立している。著者らは、コルダン代数的構造の明示的なホモロジー的分解を構築することで、括弧の異常（ジャコビ恒等式およびライブニッツ則の破れ）が高次ホモトピー作用素に符号化されていることを示し、すべての構造が単純で自然な構造写像を有するL∞-代数の定義的恒等式を満たすことを証明した。その多くは消える。

ABSTRACT

Courant algebroids are structures which include as examples the doubles of Lie bialgebras and the direct sum of tangent and cotangent bundles with the bracket introduced by T. Courant for the study of Dirac structures. Within the category of Courant algebroids one can construct the doubles of Lie bialgebroids, the infinitesimal objects for Poisson groupoids. We show that Courant algebroids can be considered as strongly homotopy Lie algebras.

研究の動機と目的

• コルダン括弧がジャコビ恒等式およびライブニッツ則を満たさないという幾何学的・代数的異常を理解すること。
• コルダン代数的構造と強いかい合性リ代数（L∞-代数）との間の関係を確立すること。L∞-代数は、変形理論および数学的物理において知られている。
• コルダン代数的構造を、ほとんどの場合に高次括弧が消える単純な構造写像を有するL∞-代数として実現する、明示的かつ自然なホモロジー的分解を構築すること。
• コルダン括弧がリ代数の括弧でないことに起因する失敗が、体系的に高次ホモトピー関係に符号化される概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• コルダン代数的構造E = TM ⊕ T*Mの有限ホモロジー的分解を構築し、その次数付き成分に分解する：E0 = Γ(TM), E1 = Γ(T*M), E2 = C∞(M)。
• 構造写像l1: E1 → E0, l2: E1 ⊗ E1 → E0, l3: E1 ⊗ E1 ⊗ E1 → E0を定義する。ここでl1は微分、l2はコルダン括弧、l3はジャコビェータTである。
• コルダン代数的構造の公理（特にアーカン条件、ライブニッツ則、括弧の微分的性質）を用いて、構造写像が満たす恒等式を導出する。
• 構造写像がL∞-代数の恒等式を満たすことを証明する：(l1)² = 0, l1l2 = 0、およびl2とl3を含む一般化されたジャコビ恒等式。
• ジャコビェータJと括弧の関係を用いた明示的計算により、l2l3 = l3l2および(l2l2 + l3l1) = 0という重要な恒等式を検証する。
• 技術的補題を活用し、ジャコビェータJがJ(e1,e2,e3),e4⟩ + 円周的項 = 0を満たし、括弧の括弧が特定の反対称性関係を満たすことを示し、L∞-代数の閉包性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ恒等式およびライブニッツ則を満たさないコルダン括弧が、高次代数的構造として体系的に理解可能か？
• RQ2 ホモロジー的分解を通じて、コルダン代数的構造を自然に強いかい合性リ代数（L∞-代数）として実現できるか？
• RQ3 このような実現における高次構造写像（l1, l2, l3）の明示的形は何か？ そしてそれらはL∞-代数の恒等式を満たすか？
• RQ4 コルダン括弧の異常（式の微分）が、L∞-代数における高次ホモトピー作用素に対応する仕組みは何か？
• RQ5 リー双代数バンドルの二重構成は、このL∞-代数構造の特別な場合として理解できるか？

主な発見

• コルダン代数的構造E = TM ⊕ T*Mは、E0 = Γ(TM), E1 = Γ(T*M), E2 = C∞(M)を有する有限ホモロジー的分解の下で自然なL∞-代数構造を有する。
• 構造写像は明示的に定義される：l1は微分、l2はコルダン括弧、l3はジャコビェータTであり、高次括弧の多くは消える。
• 写像l2l2 + l3l1は恒等的に0に等しく、L∞-代数の恒等式(l2l2 + l3l1) = 0が成立することを確認した。これはコルダン括弧がジャコビ恒等式を満たさないことに起因する失敗を符号化している。
• 関係K + 2J = 0を用いて、l2l3 = l3l2が証明され、高次作用素の整合性が示された。ここでJはジャコビェータ、Kは括弧の括弧である。
• 技術的補題により、ジャコビェータが円周的和の恒等式J(e1,e2,e3),e4⟩ + 円周的項 = 0を満たし、括弧の括弧が反対称性条件を満たすことが示され、L∞-代数の閉包性に不可欠な条件であった。
• 構成は自然かつ一意的であり、最小限の選択に依存する。また、コルダン括弧の異常を高次ホモトピー関係として体系的に解消する概念的枠組みを提供する。