[論文レビュー] Covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables

Hélein, Frédéric, Joseph Kouneiher|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、Lepageの幾何的枠組みを用いて、複数の変数をもつ古典場理論の共変ハミルトニアン形式を構築し、de Donder–Weyl法の代替として相対論的に整合性のある形式を提供する。Lepage理論におけるLegendre対応が、特異性を伴わない退化ラグランジアンに対しても適応可能であり、ポisson型括弧に基づく観測可能(n−1)形式と時間発展に基づく定義の2つが、Lepage形式でのみ一致することを示し、相対論的枠組みにおいて運動論的および力学的観測可能量を統一的に扱う。

ABSTRACT

The main purpose in the present paper is to build a Hamiltonian theory for fields which is consistent with the principles of relativity. For this we consider detailed geometric pictures of Lepage theories in the spirit of Dedecker and try to stress out the interplay between the Lepage-Dedecker (LP) description and the (more usual) de Donder-Weyl (dDW) one. For instance the Legendre transform in the dDW approach is replaced by a Legendre correspondence in the LP theory, while ignoring singularities whenever the Lagrangian is degenerate. Moreover we show that there exist two different definitions of the observable (n-1)-forms which allows one to construct observable functionals by integration (which correspond to two different points of view: generalizing the law {p,q} = 1 or the law dF\dt = {H,F}), oddly enough we prove that these two definitions coincides only in the LP situation. Finally other contributions concerning this subject and examples are also given.

研究の動機と目的

• 複数の変数をもつ古典場理論に対して、de Donder–Weyl法の制限を超えて相対論的に整合性のあるハミルトニアン形式を構築すること。
• Lepage–Dedecker形式とde Donder–Weyl形式を比較し、退化ラグランジアンの取り扱いや幾何的構造における利点を強調すること。
• 2種類の観測可能(n−1)形式の定義の違いと一致条件を明確化すること：1つはポisson型括弧{p,q}=1に基づくもの、もう1つはハミルトニアン時間発展dF/dt={H,F}に基づくもの。
• ゲージ対称性が存在する場合にも、運動論的および力学的観測可能量を統一的に扱うフレームワークを確立すること。
• ゲージポテンシャルA_μを含むように位相空間を拡張することで、ゲージ不変理論における力学的観測可能(n−1)形式の構成を示すこと。

提案手法

• n次元部分多様体を(n+k)次元多様体Nに埋め込んだ場合の変分問題のLepageの幾何的定式化を用い、Grassmann束Gr^n Nとn次微分形式の束Λ^n T*Nを用いる。
• 標準的Legendre変換の代わりに、特異性を回避するLepage理論におけるLegendre対応を導入する。
• 2種類の異なる観測可能(n−1)形式のクラスを定義：1つはポisson型括弧条件に基づくもの、もう1つはハミルトニアン発展方程式dF/dt = {H,F}に基づくもの。
• Poincaré–Cartan n形式θとその外微分Ω = dθを用いて、多重シンプレクティック構造を構築する。θ = eω + p^μ du ∧ ω_μ。
• 位相空間にゲージポテンシャルA_μとその共役運動量p^{μν}を追加し、ゲージ不変性を満たすように修正されたハミルトニアンと多重シンプレクティック形式Ω_1を導入する。
• 形式Fが力学的観測可能量であるための条件をdF = −ξ_F ⌟ ΩおよびdH(ξ_F) = 0として導出することで、ハミルトニアン発展と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lepage–Dedecker形式は、de Donder–Weyl法と比較して、幾何的一般性および退化ラグランジアンへの適用性においてどのように異なるか？
• RQ2 ポisson括弧に基づく定義と時間発展に基づく定義の2つの観測可能(n−1)形式の定義が一致するのはどのような条件下か？
• RQ3 ゲージ理論に対して力学的観測可能(n−1)形式を構成できるか。ゲージ場の導入が観測可能構造に与える影響は何か？
• RQ4 Lepage理論におけるLegendre対応の役割は何か。標準的Legendre変換を退化系に一般化する仕組みは何か？
• RQ5 ゲージポテンシャルを含む拡張位相空間により、最小形式に比べてより広いクラスの力学的観測可能量が得られる仕組みは何か？

主な発見

• ポisson括弧{p,q}=1に基づく観測可能(n−1)形式と時間発展dF/dt={H,F}に基づく定義の2つが一致するのは、Lepage形式でのみであり、de Donder–Weyl形式では一致しない。
• Lepage形式では、標準的Legendre変換に代わるLegendre対応が導入され、特異性を伴わず、自然に退化ラグランジアンに対応可能である。
• ポテンシャルがV(|ϕ|²/2) = m²|ϕ|²/2の二次関数型の場合、力学的観測可能(n−1)形式F₀は、Klein–Gordon方程式LU + m²U = 0の任意の解Uᵃを含む項を含む。
• ポテンシャルが非二次関数型の場合、唯一生存するのはU(1)グローバル対称性のカレント：F₀ = λ(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ。
• ゲージポテンシャルA_μとその共役運動量p^{μν}を含めることで、F₁ = ψ(x)(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ − ½ p^{μν} dψ ∧ ω_{μν}のような、より広いクラスの力学的観測可能量が得られ、dH(ξ_F) = 0を満たす。
• ゲージ場を含めることで、滑らかな関数ψ(x)を係数とする力学的観測可能量が可能となり、最小形式における非力学的形式の問題が解消される。