[論文レビュー] Covariant Perturbation Theory (IV). Third Order in the Curvature

A. O. Barvinsky, Yu. V. Gusev+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 50

ひとこと要約

本稿では、一般の微分作用素に対して、リーマン曲率、交換子曲率、ポテンシャル項を含む曲率の3次まで、共変摂動理論を用いて熱核および1ループ有効作用を計算し、すべての形因子と積分表現を導出する。非局所不変量の基底を確立し、2次元および4次元でのトレース異常を導出するとともに、非局所有効作用がどのように局所的異常を生成するかのメカニズムを明らかにし、特に4次元でガウス＝ボナセット恒等式が非局所恒等式を通じて出現する仕組みを解明する。

ABSTRACT

The trace of the heat kernel and the one-loop effective action for the generic differential operator are calculated to third order in the background curvatures: the Riemann curvature, the commutator curvature and the potential. In the case of effective action, this is equivalent to a calculation (in the covariant form) of the one-loop vertices in all models of gravitating fields. The basis of nonlocal invariants of third order in the curvature is built, and constraints arising between these invariants in low-dimensional manifolds are obtained. All third-order form factors in the heat kernel and effective action are calculated, and several integral representations for them are obtained. In the case of effective action, this includes a specially generalized spectral representation used in applications to the expectation-value equations. The results for the heat kernel are checked by deriving all the known coefficients of the Schwinger-DeWitt expansion including $a_3$ and the cubic terms of $a_4$. The results for the effective action are checked by deriving the trace anomaly in two and four dimensions. In four dimensions, this derivation is carried out by several different techniques elucidating the mechanism by which the local anomaly emerges from the nonlocal action. In two dimensions, it is shown by a direct calculation that the series for the effective action terminates at second order in the curvature. The asymptotic behaviours of the form factors are calculated including the late-time behaviour in the heat kernel and the small-$\Box$ behaviour in the effective action. In quantum gravity, the latter behaviour contains the effects of vacuum radiation including the Hawking effect.

研究の動機と目的

• 一般の2階微分作用素に対して、曲率の3次までで熱核のトレースおよび1ループ有効作用を計算すること。
• 曲率の3次までで、非局所不変量の完全な基底を構成し、低次元多様体における制約を特定すること。
• スペクトル表現およびα表現を含む、複数の積分表現を用いて、有効作用におけるすべての形因子を導出し、検証すること。
• シュヴィンガー＝デュイット展開と整合することを確認し、2次元および4次元でのトレース異常を再現すること。
• 非局所有効作用からどのように局所的トレース異常が生じるかのメカニズムを明らかにし、4次元でガウス＝ボナセット恒等式が非局所恒等式を通じてどのように出現するかを示すこと。

提案手法

• リーマン曲率、交換子曲率、ポテンシャル項を含む曲率の3次まで、共変摂動理論を用いて熱核および有効作用を計算する。
• 非局所3次不変量の体系的分類を行い、インデックスの反対称化および部分積分を用いて制約を導出する。
• 有効作用における形因子のための複数の積分表現（α表現、ラプラス表現、一般化スペクトル表現）を導出する。
• シュヴィンガー＝デュイット展開における既知の係数（a3およびa4の3次項）との一致を通じて、結果を相互に検証する。
• スペクトル法を含む複数の独立した手法を用いて、2次元および4次元でのトレース異常を導出する。
• 熱核の長時間挙動および有効作用の小-✷挙動について詳細な分析を行い、真空放射およびホーキング効果との関連を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変摂動理論を用いて、曲率の3次までで熱核および1ループ有効作用を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 曲率の3次までにおける非局所不変量の完全な基底は何か？また、低次元多様体におけるそれらの間の制約は何か？
• RQ3 非局所有効作用はどのようにして2次元および4次元での局所的異常（トレース異常）を生成するか？
• RQ4 4次元でガウス＝ボナセット恒等式が有効作用の非局所恒等式からどのように出現するかのメカニズムは何か？
• RQ5 熱核および有効作用における形因子の漸近的挙動（熱核では長時間、有効作用では小-✷）は、ホーキング効果などの物理現象とどのように関係するか？

主な発見

• 熱核および有効作用におけるすべての3次形因子が計算され、α表現、ラプラス表現、一般化スペクトル表現を含む複数の積分表現で表現された。
• 4次元でのトレース異常は、複数の独立した手法を用いて成功裏に導出され、一貫性が確認されるとともに、非局所から局所への出現メカニズムが明らかになった。
• 2次元では有効作用が曲率の2次までで終了し、すべての3次項が消える。これは4次元で局所的異常を生成するのと同じメカニズムによる。
• 4次元における非局所3次不変量の基底には、1つの制約が存在し、一般の不変量では次元が29から28に、重力的不変量では10から9に減少する。
• 付録で導出された非局所恒等式は、特定の形因子の下で非局所項がキャンセルされることにより、4次元でガウス＝ボナセット恒等式が出現することを説明している。
• 有効作用の小-✷漸近的挙動は、真空放射効果、特に量子重力におけるホーキング効果を捉えている。