[論文レビュー] Covariant quantum kernels for data with group structure

Jennifer R. Glick, Tanvi P. Gujarati+5 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 53被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、群構造を持つデータのための covariant quantum kernels を導入し、ユニタリ群表現と fiducial state によってカーネルを定義し、kernel alignment による fiducial-state 最適化を用いた coset-structured データの学習を、27-qubit superconducting device を用いたカーネル整合のデモンストレーションと共に示す。

ABSTRACT

The use of kernel functions is a common technique to extract important features from data sets. A quantum computer can be used to estimate kernel entries as transition amplitudes of unitary circuits. Quantum kernels exist that, subject to computational hardness assumptions, cannot be computed classically. It is an important challenge to find quantum kernels that provide an advantage in the classification of real-world data. We introduce a class of quantum kernels that can be used for data with a group structure. The kernel is defined in terms of a unitary representation of the group and a fiducial state that can be optimized using a technique called kernel alignment. We apply this method to a learning problem on a coset-space that embodies the structure of many essential learning problems on groups. We implement the learning algorithm with $27$ qubits on a superconducting processor.

研究の動機と目的

• 実世界データの group 構造を持つデータに対する kernel ベース学習で量子優位性を達成するという課題を動機づけ、解決を図る。
• unitary group representations と quantum hardware 上で効率的に prepared できる fiducial state を用いて covariant quantum kernels を定義する。
• fiducial-state 最適化（kernel alignment）を通じて coset-structured データの分類性能が向上することを示す。
• covariant kernels を 27-qubit superconducting processor 上で実装するハードウェア実験を実演する。
• 誤り緩和が kernel 品質と学習成果を高める役割を強調する。

提案手法

• ユニタリ群表現 D_x と fiducial state |psi> によって定義された covariant feature map Phi(x)=D_x |psi><psi| D_x^† を実装する。
• カーネルを K(x, x̃)=|<psi| D_x^† D_x̃ |psi>|^2 として表現し、特徴状態間の遷移振幅に相当させる。
• QKE（quantum kernel estimation）を実装し、fiducial state に D_x^† D_x̃ を適用した後の全ゼロ結果の測定でオーバーラップを推定する。
• kernel alignment を通じて fiducial state |psi> を最適化し、F(alpha, lambda) を用いる SVM 関連の一般化誤差の上限を満たす min_lambda max_alpha を解く。
• 確率的 SPSA ベースの手順を用いて、量子プロセッサ上で評価された kernel マトリクスに基づき fiducial-state パラメータ lambda を更新する。
• coset-space 学習問題（LCE）を用いて実験的に検証し、 mitigated と unmitigated のハードウェア実行を比較する。

Figure 1: Labeling cosets . (a), (b) Two covariant feature maps for a single-qubit example of the labeling cosets learning problem introduced in the text. We take $S=\{\mathds{1},A,A^{2}\}$ as subgroup of $G=SU(2)$ , where $A=\exp(i(2\pi/3)X)$ . Choosing two elements ${\bm{c}}_{+},{\bm{c}}_{-}\in SU

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 covariant quantum kernels は group 構造を活かして coset-based データに対して古典学習者より優位を発揮できるか。
• RQ2 fiducial state の選択が kernel の表現力と学習性能にどのように影響するか。
• RQ3 エラーミティゲーションが量子カーネル推定の品質と下流の分類精度に与える影響はどの程度か。
• RQ4 カーネル整合が実際の量子ハードウェア環境で fiducial-state 最適化をどのように導くか。

主な発見

• 群表現と fiducial state によって定義された covariant quantum kernel は、group-structured データに適した左不変の学習可能なカーネルを提供する。
• variational fiducial state を用いた kernel alignment は分類性能を向上させ、誤り緩和下で理想的なパラメータ値へより速く到達できる。
• 27-qubit superconducting processor 上のハードウェアデモンストレーションは、LCE coset 問題に対して高精度な分類とカーネル推定の成功を示した。
• 誤り緩和はカーネルコストの地形を大きく改善し、fiducial-state 最適化の収束を加速する。
• 実験系は SU(2)^{⊗27} と graph-stabilizer subgroups を用い、near-term デバイス 上で covariant kernels の実用性を示している。
• 結果は、特定の group-structured タスクにおいて quantum kernels が古典的 learners を上回る可能性を示す理論的示唆と一致する。

Figure 2: Device layout and circuit mapping. (a) The connectivity of the 27-qubit device ibmq_kolkata . (b) The quantum circuit used to evaluate the kernel matrix elements for the learning problem labeling cosets with errors . Here, we define the single-qubit rotations as $R_{P}(\phi)=\exp(-i(\phi/2