[論文レビュー] Covariant Theory of Gravitation in the Spacetime with Finsler Structure

Xin-Bing Huang|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、チェーン接続と曲率テンソルを用いて、フィンスラー時空における一般共変な重力理論を定式化し、新たな曲率に類似たテンソル 𝒫𝐻_ijkl を導入し、アインシュタインの式と形式的に同一の場の運動方程式を提示する。Finsler構造がリーマン的になると、この理論は正確に一般相対性理論に還元される。水平共変微分を用いることでエネルギー運動量保存則が保たれ、宇宙論におけるダークエネルギーと時間的非対称性の幾何的枠組みが提供される。

ABSTRACT

The theory of gravitation in the spacetime with Finsler structure is constructed. It is shown that the theory keeps general covariance. Such theory reduces to Einstein's general relativity when the Finsler structure is Riemannian. Therefore, this covariant theory of gravitation is an elegant realization of Einstein's thoughts on gravitation in the spacetime with Finsler structure.

研究の動機と目的

• Finsler幾何を有する時空における一般共変な重力場理論を構築し、アインシュタインの一般相対性理論を拡張すること。
• 時空幾何をリーマン的構造を超えて一般化することで、現代宇宙論における未解決問題（ダークエネルギー、時間の矢）を扱うこと。
• エネルギー運動量テンソルの水平共変微分を用いて、Finsler枠組み内でのエネルギー運動量保存則を保証すること。
• 新たなテンソル 𝒫𝑍_ijk を用いて曲率に類似たテンソル 𝒫𝐻_ijkl を構成し、アインシュタインの式に類似した運動方程式を導出すること。
• 強いエネルギー運動量保存則の制約下での、𝒫𝑍_ijk の縦方向共変微分の物理的意味を調査すること。

提案手法

• 接束 TM 上に正則性および正同次性を満たす Finsler構造関数 F(x,y) を導入し、F² の二階微分から基本テンソル g_ij(x,y) を定義する。
• 引き戻し束 π*TM 上にチェーン接続を導入し、水平および縦方向の共変微分を定義することで、フィンスラー幾何における曲率計算を可能にする。
• 新たなテンソル 𝒫𝑍_ijk(x,y) を定義し、これに基づいて曲率に類似たテンソル 𝒫𝐻_ijkl(x,y) を構成する。これはリーマン曲率テンソルを一般化する。
• 運動方程式 𝒫𝐻^ij − ½g^ij𝒫𝐻 = 8πG𝒯^ij を導出し、これはアインシュタインの運動方程式と形式的に同一である。ここで 𝒫𝐻 = g^ij𝒫𝐻_ij である。
• エネルギー運動量保存則を水平微分による条件 𝒯^ij_~{}|i = 0 として課すことにより、理論内でのエネルギー運動量保存則の整合性を保証する。
• 強いエネルギー運動量保存則の制約を検討し、𝒯^ij の水平および縦方向微分が消えることを要求する。これにより、𝒫𝑍_ijk;l に対する複雑な制約が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler構造を有する時空において、一般共変な重力理論を整合的に定式化でき、主要な物理的原則を保つことができるか？
• RQ2 フィンスラー時空における曲率構造は、一般相対性理論のリーマン曲率テンソルをどのように一般化するか？
• RQ3 チェーン接続およびその関連曲率が、フィンスラー幾何における重力の妥当な運動方程式を構築するために果たす役割は何か？
• RQ4 提案された運動方程式が、どのような条件下で正確にアインシュタインの一般相対性理論に還元されるか？
• RQ5 強いエネルギー運動量保存則を要求した場合、特に 𝒫𝑍_ijk の縦方向微分に及ぼす物理的意味は何か？

主な発見

• 提案された運動方程式 𝒫𝐻^ij − ½g^ij𝒫𝐻 = 8πG𝒯^ij は一般共変であり、形式的にアインシュタインの運動方程式と同一である。
• Finsler構造がリーマン的である場合、テンソル 𝒫𝑍_ijk は消え、曲率に類似たテンソル 𝒫𝐻_ijkl はリーマン曲率テンソルに還元され、一般相対性理論が正確に回復される。
• エネルギー運動量保存則は、水平共変微分による条件 𝒯^ij_~{}|i = 0 によって保たれ、物理的保存則との整合性が確保される。
• スカラー曲率 𝒫𝐻 = g^ij𝒫𝐻_ij は発散なし条件 (∂_j(𝒫𝐻^jt − ½g^jt𝒫𝐻) = 0) を満たし、エネルギー運動量保存則と整合性を持つ。
• 強いエネルギー運動量保存則の条件 𝒯^ij_~{};i = 0 は、𝒫𝑍_ijk の縦方向微分に複雑な制約をもたらし、現時点では有用な簡略化をもたらさない。
• この理論は、強いエネルギー運動量保存則がフィンスラー幾何と両立しない可能性を示唆しており、物理的に実現可能なのは水平微分による弱い保存則に限られる可能性がある。