[論文レビュー] Coverage Error Optimal Confidence Intervals for Local Polynomial Regression

Sebastián Calónico, Matias D. Cattaneo+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Statistical Methods and Inference被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所多項回帰におけるt統計量および被覆誤差展開について、一様なエッジワース展開を確立し、ロバストなバイアス補正を施した信頼区間が、内部点および境界点、さまざまなバンド幅、および一様カーネルを含むあらゆる設定で、最も速い被覆誤差の減少率を達成することを証明している。これらの結果により、推論最適なバンド幅選択が可能となり、RおよびStataパッケージでも実装されている。

ABSTRACT

This paper studies higher-order inference properties of nonparametric local polynomial regression methods under random sampling. We prove Edgeworth expansions for $t$ statistics and coverage error expansions for interval estimators that (i) hold uniformly in the data generating process, (ii) allow for the uniform kernel, and (iii) cover estimation of derivatives of the regression function. The terms of the higher-order expansions, and their associated rates as a function of the sample size and bandwidth sequence, depend on the smoothness of the population regression function, the smoothness exploited by the inference procedure, and on whether the evaluation point is in the interior or on the boundary of the support. We prove that robust bias corrected confidence intervals have the fastest coverage error decay rates in all cases, and we use our results to deliver novel, inference-optimal bandwidth selectors. The main methodological results are implemented in companion \ extsf{R} and \ extsf{Stata} software packages.

研究の動機と目的

• ランダムサンプリング下での局所多項回帰推論の高次漸近理論を開発すること。
• さまざまな母集団生成プロセスのクラスにわたる一様エッジワース展開を確立し、異なる母集団分布にわたるロバスト性を保証すること。
• 実務で広く用いられるが、先行するエッジワース研究では除外されていた一様カーネルを許容すること。
• 平均だけでなく、回帰関数の導関数についての推論へと結果を拡張すること。
• 被覆誤差を最小化する最適なバンド幅選択子を導出することで、実証的推論の質を向上させること。

提案手法

• データ生成プロセスのクラス FS に対して、局所多項回帰における Wald 型 t 統計量の、一様なエッジワース展開を導出する。
• 展開における主要なバイアス項を排除するために、ロバストなバイアス補正（RBC）を組み込むことで、分布近似を改善する。
• 高次展開を用いて信頼区間の被覆誤差を特徴づけ、滑らかさ、バンド幅、評価点の位置に依存する明示的な依存関係を明らかにする。
• 真の回帰関数の滑らかさ、多項式次数、および評価点が内部点か境界点かに応じて、被覆誤差の減少率を導出する。
• 展開項から得られる被覆誤差率を最小化するように、推論最適バンド幅選択子を提案する。
• 理論をRおよびStataパッケージとして実装し、実証的研究における直接的な利用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所多項回帰のt統計量に対するエッジワース展開を、点ごとの有効性ではなく、データ生成プロセスのクラスにわたる一様有効性に拡張できるか？
• RQ2 実務で広く用いられる一様カーネルは、非パラメトリック回帰における有効なエッジワース展開を可能にするか？
• RQ3 平均だけでなく、回帰関数の導関数に関する推論に対しても、高次展開を導出できるか？
• RQ4 局所多項回帰における信頼区間の被覆誤差の減少率として、最も速い可能性のあるレートは何か？
• RQ5 平均二乗誤差の最小化ではなく、被覆誤差の最小化を目的としたバンド幅選択をどのように最適化できるか？

主な発見

• ロバストなバイアス補正を施した信頼区間は、内部点および境界点、さまざまな滑らかさレベル、および一様カーネルを含むあらゆる設定で、最も速い被覆誤差の減少率を達成する。
• 標準的な区間では被覆誤差の減少率は O(n^{-1/2} h^{1/2}) であるが、ロバストなバイアス補正を施すと、滑らかさおよびバンド幅に依存して O(n^{-1} h^{1/2}) に改善される。
• 非パラメトリックカーネル回帰において、初めて一様エッジワース展開が確立され、一様カーネルを含むデータ生成プロセスのクラスに対して有効である。
• 展開項は、真の回帰関数の滑らかさ、多項式次数、および評価点の位置（内部点対境界点）に明示的に依存する。
• 被覆誤差を最小化する最適なバンド幅系列が導出され、これは平均二乗誤差最適バンド幅とは異なることが示された。
• 提案された推論最適バンド幅選択子は、同行のRおよびStataパッケージに実装されており、実証的研究における直接的な利用が可能である。