[論文レビュー] Covering R-trees, R-free groups, and dendrites

V. N. Berestovskiĭ, Conrad Plaut|ArXiv.org|Apr 23, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の長さ空間 $X$ に対して、局所自由群 $\Gamma(X)$ の自由等長作用を介して、$\overline{X}$ と表記される普遍的な R-ツリーの構成を提示する。商写像 $\overline{\phi}: \overline{X} \to X$ は普遍弱サブメトリ（URL写像）であり、$X$ が次元 $n \geq 2$ の完備リーマン多様体、メンガースポンジ、またはシエルピンスキーのカーペット／ギャスケットであるとき、$\overline{X}$ は各点で分岐度 $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ を持つ普遍的 R-ツリー $A_{\mathfrak{c}}$ に等長である。

ABSTRACT

We prove that every length space X is the orbit space (with the quotient metric) of an R-tree T via a free action of a locally free subgroup G(X) of isometries of X. The mapping f:T->X is a kind of generalized covering map called a URL-map and is universal among URL-maps onto X. T is the unique R-tree admitting a URL-map onto X. When X is a complete Riemannian manifold M of dimension n>1, the Menger sponge, the Sierpin'ski carpet or gasket, T is isometric to the so-called "universal" R-tree A_{c}, which has valency equal to the cardinality of the continuum at each point. In these cases, and when X is the Hawaiian earring H, the action of G(X) on T gives examples in addition to those of Dunwoody and Zastrow that negatively answer a question of J. W. Morgan about group actions on R-trees. Indeed, for one length metric on H, we obtain precisely Zastrow's example.

研究の動機と目的

• 与えられた長さ空間 $X$ を被覆する普遍的 R-ツリー $\overline{X}$ を、自由等長群作用を用いて構成すること。
• 商写像 $\overline{\phi}: \overline{X} \to X$ が、商距離を伴い、普遍的 URL-写像（弱サブメトリ、開写像、ライト写像）であることを確立すること。
• $X$ が次元 $n \geq 2$ の完備リーマン多様体、メンガースポンジ、またはシエルピンスキーのフラクタルであるとき、$\overline{X}$ が一意的であり、かつ普遍的 R-ツリー $A_{\mathfrak{c}}$ に等長であることを示すこと。
• J. W. モーガンによる R-ツリー上の群作用に関する質問に対して、負の反例を提供する、R-ツリー上での局所自由群作用の新しい例を提示すること。
• 非測地的かつフラクタル的空間への被覆写像理論を、非後退的可微分路を基礎として拡張すること。

提案手法

• $\overline{X}$ を $X$ 内の基点付きの非後退的可微分路の空間と定義し、最初の分岐点からの路長の和に基づく距離を備える。
• $\Gamma(X)$ を $X$ 内のループの集合として、自然な演算を備える群構造を備え、$\mathrm{Isom}(\overline{X})$ の局所自由部分群をなす。
• $\overline{\phi}: \overline{X} \to X$ を終点写像として構成し、これは弱サブメトリかつライト写像である。
• $\overline{X}$ が R-ツリーであり、$\Gamma(X)$ の $\overline{X}$ への作用が自由かつ等長であることを証明する。
• $A_{\mathfrak{c}}$ の普遍的性質を用いて、$X$ が次元 $n \geq 2$ の完備リーマン多様体、メンガースポンジ、またはシエルピンスキーのフラクタルであるとき、$\overline{X} \cong A_{\mathfrak{c}}$ が各点で分岐度 $\mathfrak{c}$ を持つことを示す。
• $\tilde{X}$ を $X$ 内の区分的連続的微分可能な路の部分空間と定義し、$\tilde{X}$ が $\tilde{\Gamma}(X)$ に関して最小不変部分ツリーであることを示し、$\tilde{\phi}: \tilde{X} \to X$ が弧状等長写像かつ弱サブメトリであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の長さ空間は、R-ツリー上の自由等長群作用の軌道空間として実現可能か？
• RQ2 任意の長さ空間に対して、普遍的 R-ツリー被覆写像（URL-写像）は存在するか？ その普遍的性質は何か？
• RQ3 $X$ が次元 $n \geq 2$ の完備リーマン多様体であるとき、被覆 R-ツリー $\overline{X}$ の構造はいかなるものか？
• RQ4 本稿で構成された $\overline{X}$ 上の群作用は、J. W. モーガンによる R-ツリー上の群作用に関する質問に対する反例を提供するか？
• RQ5 $X$ 内の区分的 $C^1$ ループの部分群 $\tilde{\Gamma}(X)$ は自由群か？ また、対応する R-ツリー $\tilde{X}$ 上で自由に作用するか？

主な発見

• 任意の長さ空間 $X$ は、$\Gamma(X)$ が等長で自由に作用する $\overline{X}$ を持ち、$X$ は $\overline{X}/\Gamma(X)$ に等長である。
• 商写像 $\overline{\phi}: \overline{X} \to X$ は普遍的弱サブメトリ（URL-写像）であり、開写像かつライト写像である。$X$ が測地的である場合、サブメトリにもなる。
• $X$ が次元 $n \geq 2$ の完備リーマン多様体、メンガースポンジ、またはシエルピンスキーのカーペット・ギャスケットであるとき、被覆 R-ツリー $\overline{X}$ は各点で分岐度 $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ を持つ普遍的 R-ツリー $A_{\mathfrak{c}}$ に等長である。
• 本構成により、J. W. モーガンによる「すべての局所自由群作用が自由群から生じる」という質問に対して、否定的な反例を提供する R-ツリー上での局所自由群作用の新しい例が得られる。
• 特定の長さ計量を備えたハワイアンイヤリング $H$ に対して、本構成はザストロの例を回復し、R-ツリー群作用の文脈においてその関連性を確認する。
• $X$ 内の区分的連続的微分可能な路の部分空間 $\tilde{X}$ は、分岐度 $\mathfrak{c}$ を持つ非完備 R-ツリーであり、$\tilde{\Gamma}(X)$ の $\tilde{X}$ への作用は自由かつ等長であり、$\tilde{X}$ は最小不変部分ツリーである。