[論文レビュー] Covering spaces of character varieties

Sean Lawton, Daniel A. Ramras|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 48被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、リー群の被覆準同型が、曲面、自由群、自由アーベル群の基本群の表現（特性多様体）のモジュライ空間の間で正規被覆写像を誘導することを確立している。条件として、被覆先の群の基本群が torsion-free であること。主な結果は、モジュライ空間上の誘導写像が、構造群が Hom(Γ, ker(p)) に同型である正規被覆であることであり、群 Γ が指数消去性を満たすとき、この写像は全射となり、特性多様体の基本群の明示的計算が可能になる。特に、g ≥ 1 のとき、安定モジュライ空間 Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU は ℂP∞ にホモトピー同値であるという結果が得られる。

ABSTRACT

Let F be a finitely generated discrete group. Given a covering map H to G of Lie groups with G either compact or complex reductive, there is an induced covering map Hom(F, H) to Hom(F, G). We show that when the fundamental group of G is torsion-free and F is free, free Abelian, or the fundamental group of a closed Riemann surface M of genus g, this map induces a covering map between the corresponding moduli spaces of representations. We give conditions under which this map is actually the universal covering, leading to new information regarding fundamental groups of these moduli spaces. Let pi be the fundamental group of M. As an application, we show that for g>0, the stable moduli space Hom(pi, SU)/SU is homotopy equivalent to infinite complex projective space. In the Appendix by Ho and Liu, it is shown show that there is a bijection between the number of connected components of Hom(pi, G) and the fundamental group of [G,G] for all complex connected reductive Lie groups G.

研究の動機と目的

• 有限生成群からリー群への表現のモジュライ空間（特性多様体）の位相的構造を理解すること。
• リー群間の被覆写像が、それらに対応する特性多様体の間で被覆写像を誘導する方法を調査すること。
• 基本群が torsion-free である条件の下で、曲面群、自由群、自由アーベル群の特性多様体の基本群を計算すること。
• 誘導されたモジュライ空間間の写像が普遍被覆である条件を確立し、それによってその位相的性質に関する新たな情報を明らかにすること。
• 特性多様体の路成分に関する結果を、特に曲面群に対して複素再帰的リー群へと拡張すること。

提案手法

• 被覆準同型 p: H → G から誘導される写像 p* : Hom(Γ, H) → Hom(Γ, G) を用いて、対応する表現のモジュライ空間間の写像を構成する。
• 点集合の商空間 QΓ(H) → QΓ(G) における誘導写像が、構造群が Hom(Γ, ker(p)) に同型である正規被覆写像であることを証明する。
• この写像の像が余域の路成分の和集合であることを示し、モジュライ空間 XΓ(H) → XΓ(G) への制限も同様に構造群が同じ正規被覆写像であることを示す。
• 指数消去性を満たす群（例：自由群、自由アーベル群、曲面群）の理論を適用して、被覆写像が全射であることを証明し、基本群の明示的計算を可能にする。
• 普遍被覆写像 ρℂ: 𝔥ℂ × ~DG → G を用いて、well-defined な障害写像 O₂: Hom(π₁Σ, G) → Ker(ρℂ) ≅ π₁(DG) を定義し、そのファイバーが連結であることを証明することで、双対性 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG) を確立する。
• 代数幾何学および幾何的不変量理論（GIT）の結果を活用して、多様体的安定的商 XΓ(G) がユークリッド位相におけるGIT商と位相的に同相であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 H → G の被覆準同型 p: H → G が、対応する表現のモジュライ空間 XΓ(H) → XΓ(G) 間で被覆写像を誘導する条件は何か？
• RQ2 誘導されたモジュライ空間間の被覆写像が正規（regular）である条件は何か？その構造群は何か？
• RQ3 Γ が閉リーマン曲面の基本群であり、G が複素再帰的またはコンパクトリー群で π₁(G) が torsion-free であるとき、モジュライ空間 XΓ(G) の基本群は何か？
• RQ4 曲面群 π₁Σ と複素再帰的 G に対して、Hom(π₁Σ, G) の路成分は、導来部分群 DG の基本群 π₁(DG) とどのように関係しているか？
• RQ5 モジュライ空間間の普遍被覆写像を明示的に実現できるか？その結果、安定モジュライ空間のホモトピー型にどのような意味があるか？

主な発見

• G がコンパクトまたは複素再帰的で π₁(G) が torsion-free であるとき、誘導写像 p* : XΓ(H) → XΓ(G) は、構造群が Hom(Γ, ker(p)) に同型である正規被覆写像である。
• 指数消去性を満たす群 Γ（例：自由群、自由アーベル群、曲面群）に対して、誘導された被覆写像は全射であり、したがって構造群がファイバー上に推移的に作用する。
• g ≥ 1 の曲面 Σ と、π₁(G) が torsion-free である複素再帰的 G に対して、モジュライ空間 Xπ₁Σ(G) の基本群は、π₁(G)^b₁(Σ) に同型である。ここで b₁(Σ) は Σ の1次ベッチ数である。
• g ≥ 1 のとき、安定モジュライ空間 Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU は ℂP∞ にホモトピー同値である。これは特性多様体の普遍被覆構造から導かれる結果である。
• 複素再帰的 G に対して、Hom(π₁Σ, G) の路成分は、導来部分群 DG の基本群 π₁(DG) と一対一対応する。これは付録で Ho と Liu が証明している。
• 障害写像 O₂: Hom(π₁Σ, G) → π₁(DG) は well-defined で全射であり、ファイバーが連結である。これにより、双対性 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG) が確立される。