[論文レビュー] Covering theorems and Lebesgue integration

Peter A. Loeb, Erik Talvila|ArXiv.org|Jan 2, 2001

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ゲージ関数に関して $δ$-fine な不交和の $λ$-モース集合へのリーマン和を用いて、ルベーグ積分の新たな特徴付けを確立する。これはヘンストおよびマクシェーン積分を拡張するものである。主な貢献は、モース被覆定理の強化版であり、これは、有限次元ノルム空間内の可測集合の任意の $λ$-モース被覆が、至るところ零集合を除いて被覆する、高々 $κ$ 個の互いに素な部分族に細分可能であることを保証する。これにより、積分がこのような和の極限として定義可能となる。

ABSTRACT

This paper shows how the Lebesgue integral can be obtained as a Riemann sum and provides an extension of the Morse Covering Theorem to open sets. Let $X$ be a finite dimensional normed space; let $μ$ be a Radon measure on $X$ and let $Ω\subseteq X$ be a $μ$-measurable set. For $λ\geq1$, a $μ$-measurable set $S_λ(a)\subseteq X$ is a $λ$-Morse set with tag $a\in S_λ(a)$ if there is $r>0$ such that $B(a,r)\subseteq S_{λ}(a)\subseteq B(a,λr)$ and $S_λ(a)$ is starlike with respect to all points in the closed ball $B(a,r)$. Given a gauge $δ:Ω o(0,1]$ we say $S_λ(a)$ is $δ$-fine if $B(a,λr)\subseteq B(a,δ(a))$. If $f\geq0$ is a $μ$-measurable function on $Ω$ then $\int_Ωf dμ=F\in\mathbb{R}$ if and only if for some $λ\geq1$ and all $ε>0$ there is a gauge function $δ$ so that $|\sum_{n}f(x_{n}) μ(S(x_{n}))-F|

研究の動機と目的

• 可測集合の $λ$-モース集合の被覆族を用いたリーマン和に基づくルベーグ積分の定義を提供すること。
• 有限次元ノルム空間における開集合へのモース被覆定理を拡張し、被覆の有限細分可能性を保証すること。
• ヘンストおよびマクシェーン積分を一般化するゲージ理論的基準を確立し、ルベーグ可積分性を特徴付けること。
• 積分が近似連続性の点にタグ付けされた集合上の和を用いて計算可能であり、収束性が向上することを示すこと。

提案手法

• $λ$-モース集合を、閉球を含み、その $λ$-倍のスケール版に含まれるスター型集合と定義する。タグ点は内側の球に含まれる。
• $δ: \Omega \to (0,1]$ をゲージ関数として導入し、$δ$-fine 集合を定義することで、被覆集合のサイズに対する局所的制御を確保する。
• 強化されたモース被覆定理を用いて、$μ$-可測集合 $Ω$ の任意の $λ$-モース被覆が、$Ω$ を零集合を除いて被覆する高々 $κ$ 個の互いに素な部分族に分割可能であることを示す。
• 非負可測関数 $f$ のルベーグ積分が $F$ に等しいことと、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、すべての $δ$-fine かつ互いに素な $λ$-モース被覆（零集合を除く）が $|\sum f(x_n)\mu(S_n) - F| < \varepsilon$ を満たすようなゲージ $δ$ が存在することとは同値であることを証明する。
• $f^+$ と $f^-$ に対して別々に結果を適用し、実数値関数への特徴付けを拡張する。
• ほとんど everywhere で連続な関数に対して、連続性モジュラスに基づいて $\delta_\varepsilon$ を明示的に構成し、リーマン和が積分に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間や立方体よりも一般な集合族を用いた被覆定理を用いて、ルベーグ積分をリーマン和の極限として特徴付けられるか？
• RQ2 有限次元ノルム空間における開集合へのモース被覆定理をどのように拡張すれば、被覆の有限細分可能性を保証できるか？
• RQ3 可測関数に対して、$λ$-モース集合上のリーマン和がルベーグ積分に収束するためのゲージ条件は何か？
• RQ4 連続性の近似点のみを用いて積分を計算可能か？また、連続性モジュラスに基づく構成的ゲージは収束を保証するか？
• RQ5 $λ$-モース集合上のリーマン和の収束が、ルベーグ可積分性を示すために必要な条件は何か？

主な発見

• 非負可測関数 $f$ の $μ$-可測集合 $Ω$ 上のルベーグ積分が $F$ に等しいことと、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、すべての $δ$-fine かつ互いに素な $λ$-モース被覆（零集合を除く）が $|\sum f(x_n)\mu(S_n) - F| < \varepsilon$ を満たすようなゲージ $δ$ が存在することは同値である。
• 強化されたモース被覆定理は、中心が集合 $A$ に属する任意の $λ$-モース集合族が、高々 $\kappa$ 個の互いに素な部分族の内部で被覆可能であると述べる。ここで $\kappa$ は $\u03bb$、次元 $d$、空間のノルムに依存する。
• $\u03bc$-ほとんど everywhere で連続な関数に対して、連続性モジュラスに基づいて明示的なゲージ $\delta_\varepsilon$ が構成され、リーマン和が積分に収束することが保証される。
• $|f|$ の積分が有限であることと、連続性集合内のタグ付き $\delta_1$-fine かつ互いに素な $λ$-モース集合の列 $\{S_n\}$ が存在して $\sum |f(x_n)|\mu(S_n) < \infty$ となることは同値である。
• 構成法により、関数がほとんど everywhere で連続であり、適切にゲージが選ばれている限り、有界領域でない関数や無限大に発散する関数に対しても、リーマン和がルベーグ積分に収束することが保証される。
• 論文の最終的注意事項に述べられているように、ルジンの定理およびルベーグ微分定理を用いて、この理論はバナッハ空間値関数へと拡張可能である。