[論文レビュー] Covering theory of categories without free action assumption and derived equivalences

Hideto Asashiba|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、群作用が自由でも局所有界でもない場合を含めても、G被覆函手の一般化された概念を導入し、商圏 C/G を用いて普遍性を確立する。これは、導来同値性の技法を拡張し、非自由な状況下でも、商圏とスモーズ積の関係を明確にする。さらに、スケアモニド圏のクイバー表現を用いて明示的な計算を可能にする。

ABSTRACT

Abstract. Let G be a group of automorphisms of a category C. We give a definition for a functor F: C → C ′ to be a G-covering and three constructions of the orbit category C/G, which generalizes the notion of a Galois covering of locally finitedimensional categories with group G whose action on C is free and locally bonded. Here C/G is defined for any category C and we do not require that the action of G is free or locally bounded. We show that a G-covering is a universal “G-invariant” functor and is essentially given by the canonical functor C → C/G. By using this we improve a covering technique for derived equivalence. Also we prove theorems describing the relationships between smash product construction and the orbit category construction by Cibils and Marcos (2006) without the assumption that the G-action is free. The orbit category construction by a cyclic group generated by an auto-equivalence modulo natural isomorphisms (e.g., the construction of cluster categories) is justified by a notion of the “colimit orbit category”. In addition, we give a presentation of a skew monoid category by a quiver with relations, which enables us to calculate many examples.

研究の動機と目的

• 群作用が自由である必要がない状況にまで、カテゴリー理論におけるガロア被覆の概念を一般化すること。
• 群作用が自由でも局所有界でもない場合でも、任意の圏 C と群 G に対して、商圏 C/G を定義すること。
• G被覆函手が、G不変函手としての普遍性を持つことを確立し、自然な写像 C → C/G によって特徴づけられることを示すこと。
• 新しい被覆枠組みを用いて、非自由な群作用に対しても導来同値性の技法を改善すること。
• 群作用が自由でない場合でも、スモーズ積構成と商圏の関係を明確にすること。

提案手法

• 群作用が自由または局所有界である必要のないG被覆函手の新しい定義を導入すること。
• 自由作用の場合の既存の構成を一般化する三通りの方法で、商圏 C/G を構成すること。
• 自然な函手 C → C/G が、G不変函手の間で普遍的であることを示すこと。
• G被覆函手の普遍性を用いて、非自由な群作用に対しても導来同値性の技法を拡張すること。
• カテゴリカル双対性を用いて、スモーズ積構成と商圏の関係を確立すること。
• 多くの例の明示的計算を可能にするために、スケアモニド圏のクイバーと関係式による表現を提供すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用が自由でも局所有界でもない場合のガロア被覆の概念をどのように拡張できるか？
• RQ2 自然な函手 C → C/G が持つ普遍的性質とは何か？ それはG被覆函手をどのように特徴づけるか？
• RQ3 群作用が自由でない場合、商圏は古典的構成をどのように一般化するか？
• RQ4 群作用が自由でない場合、スモーズ積構成と商圏構成の関係はどのようなものか？
• RQ5 スケアモニド圏をクイバーと関係式で効果的に表現できるか？ これにより具体的な計算が可能になるか？

主な発見

• 任意の圏 C と群 G に対して、群作用が自由または局所有界である必要なく、商圏 C/G が適切に定義される。
• G被覆函手は、G不変函手としての普遍性によって普遍的に特徴づけられ、自然な写像 C → C/G がその普遍的モルフィズムとして機能する。
• 新しい被覆枠組みを用いることで、非自由な群作用に対しても導来同値性の技法が改善される。
• 群作用が自由でない場合でも、スモーズ積と商圏の構成の関係が明確にされる。
• 自己同値関手を自然同型で割ったものとしてのクラスタ圏の構成が、「コリミット商圏」という概念によって正当化される。
• スケアモニド圏のクイバーと関係式による表現が提供され、多くの例の明示的計算が可能になる。