[論文レビュー] Covers of curves, Ceresa cycles, and Unlikely intersections

Tejasi Bhatnagar, Sheela Devadas+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 0

ひとこと要約

非常に一般的な genus g ≥ 2 の滑らかな曲線 C の分岐被覆に対して、被覆曲線の Ceresa cycle は Jacobian Chow 群において nontorsion であり、これが generically 成り立つ無限ファミリを提供することを証明する。相対的カノニカルシャドウを導入し、ありえない交叉理論を用いてこれらの cycle が torsion になる時期を研究する。

ABSTRACT

Fix a smooth, projective, geometrically integral curve $C$ of genus $g \geq 2$ over a characteristic zero field. We prove that the Ceresa cycle $\mathrm{Cer}(\widetilde{C})$ of a very general ramified cover $\widetilde{C}$ of $C$ is nontorsion in the Chow group of its Jacobian. We also show that there exist infinitely many families of ramified covers of a varying family of curves where a general point of these families corresponds to a curve with nontorsion Ceresa cycle. To illustrate this, we write down two explicit $1$-dimensional and $2$-dimensional families of genus $6$ curves where the locus of curves with torsion Ceresa cycle is Zariski closed and has positive codimension. Our strategy is to reduce the question of whether the Ceresa cycle is torsion to the question of whether a related point on the Jacobian of the curve is torsion. For this, we use the ``relative canonical shadow" of the Ceresa cycle, which is a point in the Jacobian of the curve obtained by intersecting the Ceresa cycle with a natural correspondence arising from the covering map. We combine this with ideas from unlikely intersection theory (namely the relative Manin--Mumford theorem) to study the locus where the relative canonical shadows of the Ceresa cycle become torsion.

研究の動機と目的

• 曲線の被覆の Ceresa cycle が CH_1(J) で torsion か nontorsion かを動機付け・研究する。これをモデuli の torsion loci に関するより広い問題へ結びつける。
• Ceresa torsion の問題を相対的カノニカルシャドウの概念を用いて、Jacobians の torsion の問題へ翻訳する。
• unlikely intersection theory（Manin–Mumford–Raynaud、Masser–Zannier、および相対版）を用いて、被覆の族における torsion locus を分析する。
• ジャンル 6 の曲線に対して、torsion Ceresa cycles の locus が Zariski により閉じ、正の共次元を持つ明示的なファミリを提供する。
• これらの結果をモデuli の Ceresa-torsion locus の構造、および mixed Hodge 構造の変動に対する Zilber–Pink 型の予想へ関連づける。

提案手法

• 相対的カノニカルシャドウ（Defintion 1.1）を介して、曲線のヤコビアン上の関連点の torsion 問題へ Ceresa-torsion 問題を還元する。
• サイクルの交叉理論と pushforward 関係を用いて、CH_0(C) および CH_1(J) で計算可能な shadow を得る。
• Manin–Mumford–Raynaud 定理とその相対版を適用し、アブシェル群の真の部分多様体内での torsion 平行移動を制約する。
• Masser–Zannier のありえない交叉定理を、一・二パラメータのファミリで適用して同時 torsion 発生を制限する。
• 対称群や二面体群などの群作用を利用して楕円ファイブレーションを作り、独立なセクションを導出し、その torsion 振る舞いが Ceresa cycle を支配する。
• 1次・2次元の genus 6 の明示的ファミリを提供し、torsion locus が小さく、適用可能な場合には開密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus g ≥ 2 の非常に一般的な分岐被覆の Ceresa cycle は CH_1(J) で torsion でなくなるか？
• RQ2 相対的カノニカルシャドウを介して Ceresa-torsion を曲線のヤコビアン上の点の torsion 性へ関連付けられるか？
• RQ3 被覆の族において Ceresa cycle が torsion となる locus は Zariski 關閉で正の共次元を持つか？
• RQ4 明示的な低次元ファミリで torsion locus が非致密、または正の共次元を持つことを示せるか？
• RQ5 Hurwitz 空間の構造とモノドロミー表現は Ceresa cycle の torsion 振る舞いにどのように影響するか？

主な発見

• genus g ≥ 2 の曲線 C の非常に一般的な分岐被覆では、被覆曲線の Ceresa cycle は CH_1(J) で nontorsion である。
• 非常に一般的な被覆ファミリが無限に存在し、その member が nontorsion Ceresa cycle を持つ。
• 明示的な 1-および 2-parameter の genus 6 ファミリは、torsion Ceresa cycle を持つ曲線の locus が Zariski 閉じ、正の共次元を持つことを示す。
• 相対的カノニカルシャドウは Ceresa の同一性の具体的な障害を提供し、Ceresa-torsion 問題をヤコビアン点の torsion 問題へ翻訳する。
• 相対的 Manin–Mumford および Masser–Zannier の結果を用い、これらのファミリにおける torsion locus が正の共次元を持つ Zariski 關閉集合に含まれることを確立する。
• 結果は、Ceresa cycle が一般的に nontorsion である新しい例と、torsion locus が特定の Hurwitz ファミリで致密でないことが証明可能である例を提供する。