[論文レビュー] Covers of the projective line and the moduli space of quadratic differentials

Dawei Chen|arXiv (Cornell University)|May 18, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、射影直線の4点において分岐する被覆をパラメトライズする1次元Hurwitz空間を研究し、これらの空間の傾きの公式を導出し、巡回被覆に応用する。この公式により、二次微分形式のモジュライ空間におけるHurwitz空間の傾き、リャプノフ指数の和、およびSiegel-Veech定数の間の明確な関係を確立し、既知の結果を再現するとともに、 genus が大きくなるに従って有効除層の傾きに対する新たな漸近的下界を提示する。

ABSTRACT

Consider the 1-dimensional Hurwitz space parameterizing covers of P^1 branched at four points. We study its intersection with divisor classes on the moduli space of curves. As an application, we calculate the slope of the Teichmuller curve parameterizing square-tiled cyclic covers and recover the sum of its Lyapunov exponents obtained by Forni, Matheus and Zorich. Motivated by the work of Eskin, Kontsevich and Zorich, we exhibit a relation among the slope of Hurwitz spaces, the sum of Lyapunov exponents and the Siegel-Veech constant for the moduli space of quadratic differentials.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間上の除層類と1次元Hurwitz空間の交わりを解析すること。
• 任意の分岐型を持つP1への被覆をパラメトライズするHurwitz空間の一般傾き公式を導出すること。
• 傾き公式を巡回被覆に適用し、Forni, Matheus, Zorichが以前に計算したリャプノフ指数の和を回復すること。
• 二次微分形式のモジュライ空間において、Hurwitz空間の傾き、リャプノフ指数の和、およびSiegel-Veech定数の間の新しい関係を確立すること。
• genus g → ∞ のとき、曲線のモジュライ空間上の有効除層の傾きに対する漸近的下界を導出すること。

提案手法

• 固定された分岐プロファイル c = (c1, c2, c3, c4) を持つ連結被覆の genus g を、Riemann-Hurwitz公式を用いて計算する。
• P1上の1つの分岐点 p4 をP1に沿って変化させることで、1次元Hurwitz空間 H_d(c) を構成し、適切な被覆をパラメトライズするコンactification H̄_d(c) を得る。
• 単位群 π1(P1 − {p1,p2,p3,p4}) から対称群 S_d への写像 (γ1, γ2, γ3, γ4) ∈ Hom(π1(P1 − {p1,p2,p3,p4}), S_d) を用いて、S_d 内の共轭類による被覆の同型類分類を行う。
• 不変量 δ_d,ν を、正方形タイル化巡回被覆の退化におけるすべてのノードの重みの和として定義し、極限 c_ν = lim_{d→∞} δ_d,ν / (6N_d,ν) を定義する。
• 鍵となる関係式 s_ν = 12c_ν / L_ν を導出する。ここで s_ν は H̄_d(c_ν) の極限傾き、c_ν はSiegel-Veech定数、L_ν = κ_ν + c_ν はリャプノフ指数の和である。
• 標準的二重被覆構成を用いて、二次微分形式のストラトとアーベル微分形式のストラトを関連づけ、既知のSiegel-Veech定数の漸近的挙動を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P1の4点で分岐する巡回被覆をパラメトライズするHurwitz空間の傾きは何か？
• RQ2 二次微分形式のモジュライ空間において、Hurwitz空間の傾き、リャプノフ指数の和、およびSiegel-Veech定数の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 genus g → ∞ のとき、M̄_g 上の有効除層の傾きに対して、どのような漸近的下界を導出できるか？
• RQ4 正方形タイル化巡回被覆の退化は、重み付きノードの数え上げおよびSiegel-Veech定数とどのように関係するか？
• RQ5 4g−4 を奇数部分に分割する分割 ν に対して、g → ∞ のときのSiegel-Veech定数 c_ν の極限挙動は何か？

主な発見

• 巡回被覆に対するHurwitz空間 H̄_d(c_ν) の傾きは、d → ∞ のとき s_ν = 12c_ν / L_ν に収束する。ここで L_ν はリャプノフ指数の和、c_ν はSiegel-Veech定数である。
• 正方形タイル化巡回被覆のTeichmüller曲線におけるリャプノフ指数の和は、傾き公式を用いて回復され、Forni, Matheus, Zorichによる以前の結果を確認する。
• g → ∞ のとき、関連するアーベル微分形式のストラトの漸近的挙動に基づき、Siegel-Veech定数 c_ν は1に近づくと予想される。
• M̄_g 上の有効除層の傾きに対する新たな漸近的下界が導出された：大規模な g に対して s ∼ 432/(7g) であり、これは ν = (1, ..., 1, 3g−3) で l = g 個の部分を持つとき達成される。
• この下界 s ∼ 432/(7g) は、以前に知られていた ∼576/(5g) の下界よりわずかに劣るが、傾き、リャプノフ指数の和、Siegel-Veech定数の間の一般的枠組みから導出された。
• 本稿は、M̄_g 上の既知のすべての有効除層の傾きが 6 より大きいことを確認している一方で、既知の下界は g が大きいとき O(1/g) に減少することが示され、M̄_g の有効コーンを理解するという未解決問題を浮き彫りにしている。