[論文レビュー] Cox's Theorem and the Jaynesian Interpretation of Probability

Alexander Terenin, David Draper|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Philosophy and History of Science参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、繰り返し発生する事象に対する一貫性の公理を導入することでコックスの定理を再構築し、公正なサイコロを振るといった標準的な確率的状況への応用を広げた。Jaynes流の確率の解釈、すなわち不確実性下での妥当な推論としての確率論は、ベイズの定理による推論のための一意的かつ一貫した枠組みであることが示された。

ABSTRACT

There are multiple proposed interpretations of probability theory: one such interpretation is true-false logic under uncertainty. Cox's Theorem is a representation theorem that states, under a certain set of axioms describing the meaning of uncertainty, that every true-false logic under uncertainty is isomorphic to conditional probability theory. This result was used by Jaynes to develop a philosophical framework in which statistical inference under uncertainty should be conducted through the use of probability, via Bayes' Rule. Unfortunately, most existing correct proofs of Cox's Theorem require restrictive assumptions: for instance, many do not apply even to the simple example of rolling a pair of fair dice. We offer a new axiomatization by replacing various technical conditions with an axiom stating that our theory must be consistent with respect to repeated events. We discuss the implications of our results, both for the philosophy of probability and for the philosophy of statistics.

研究の動機と目的

• 公正なサイコロを振るといった基本的な確率的例で失敗する、従来のコックスの定理の証明における制限を解消すること。
• Jaynes流の確率の解釈、すなわち不確実性下での妥当な推論としての確率論の、より一般的かつ哲学的に堅牢な基礎を構築すること。
• 従来の証明で用いられる制限的な技術的仮定を、繰り返し発生する事象における一貫性に基づく、単一で直感的な公理に置き換えること。
• この新しい公理を適用した場合、条件付き確率論が不確実性下での合理的推論のための唯一の枠組みのまま残ることを示すこと。

提案手法

• 繰り返し発生する同一の事象に理論が一貫しているべきであるという新しい公理を提唱する。
• 連続性や微分可能性といった従来の技術的条件を、この一貫性要請に置き換えることで、適用範囲を広げる。
• この新しい公理を用いてコックスの定理の導出を再構築し、妥当性の関数方程式が依然として標準的な確率計算に至ることを示す。
• 得られた枠組みが確率論の公理を満たし、ベイズの定理が不確実性下での信念の更新のための唯一の一貫した手法として再現されることを示す。
• 標準的例、たとえば2つの公正なサイコロを振るといった状況に、見直された枠組みを適用し、実用的な一貫性を検証する。
• 論理的および代数的推論を用いて、新しい一貫性条件を満たす関数は、条件付き確率と同型であるものに限られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的な技術的仮定に依存する従来の証明が、単純な確率的例で失敗するのを避けて、コックスの定理を証明可能か？
• RQ2 繰り返し発生する事象における一貫性条件が、妥当な推論のための唯一の枠組みとして確率論を導くのに十分か？
• RQ3 見直された公理的枠組みは、統計的推論におけるベイズ推論の哲学的根拠をどのように強化するか？
• RQ4 この新しい一貫性原理を用いることで、Jaynes流の確率の解釈、すなわち妥当な推論としての確率論を強化できるか？
• RQ5 新しい枠組みは、矛盾を生じさせることなく、サイコロの振るいといった標準的確率的状況をモデル化できるか？

主な発見

• 繰り返し発生する事象における一貫性という新しい公理は、コックスの定理における制限的な技術的仮定を置き換え、公正なサイコロを振るといった標準的ケースにおける確率論の有効な導出を可能にした。
• 見直された枠組みは、確率論の法則およびベイズの定理を、不確実性下での信念の更新のための唯一の一貫した方法として一意に回復した。
• 従来の証明が失敗するケース、たとえば対称的な結果を持つ離散的・有限な標本空間であっても、証明は依然として有効である。
• 得られた理論は標準的な条件付き確率と同型であり、妥当な推論のための唯一の一貫した枠組みが確率計算であることを確認した。
• 複雑な解析的仮定ではなく、単純で直感的な一貫性条件に基づくことで、ベイズ推論の哲学的根拠が強化された。