[論文レビュー] Coxeter combinatorics and spherical Schubert geometry

Reuven Hodges, Alexander Yong|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限コックスター群における $I$-球面的要素を、コックスター要素の一般化として導入し、$W$ がワイル群である場合、その $I$-球面的要素がレヴィ部分群作用下での球面的シューベルト多様体を添え字すると仮説を立てている。著者らは、タイプ $A$ において、キーポリノミアル、重複度フリー性、およびスプリット対称性との関係を確立し、$ \mathfrak{S}_n$ において最大球面的要素が完全交換的であることを証明し、デマズール加群の組合せ論および代数的組合せ論の結果を用いて、この仮説を検証した。

ABSTRACT

For a finite Coxeter system and a subset of its diagram nodes, we define spherical elements (a generalization of Coxeter elements). Conjecturally, for Weyl groups, spherical elements index Schubert varieties in a flag manifold G/B that are spherical for the action of a Levi subgroup. We evidence the conjecture, employing the combinatorics of Demazure modules, and work of R. Avdeev-A. Petukhov, M. Can-R. Hodges, R. Hodges-V. Lakshmibai, P. Karuppuchamy, P. Magyar-J. Weyman-A. Zelevinsky, N. Perrin, J. Stembridge, and B. Tenner. In type A, we establish connections with the key polynomials of A. Lascoux- M.-P. Schützenberger, multiplicity-freeness, and split-symmetry in algebraic combinatorics. Thereby, we invoke theorems of A. Kohnert, V. Reiner-M. Shimozono, and C. Ross-A. Yong.

研究の動機と目的

• 有限コックスター系における $I$-球面的要素を定義し、コックスター要素の一般化として研究すること。
• ワイル群の場合、$I$-球面的要素がレヴィ部分群作用下でのシューベルト多様体を添え字すると仮説を立てること。
• タイプ $A$ において、$I$-球面的要素と代数的組合せ論（キーポリノミアル、重複度フリー性など）との関係を確立すること。
• デマズール加群の組合せ論およびアブデエフ–ペトゥホフ、カン–ホッジズ、その他の研究結果を用いて、仮説を検証すること。
• 対称群 $\mathfrak{S}_n$ における単純表現の構造と球面的性の証拠条件を分析すること。

提案手法

• $I$-球面的要素を、非-$I$生成子の繰り返し回数が制限され、パラボリック部分群の長さ要素に関連する成分ごとの長さ制限を満たす単純表現によって定義する。
• 球面的シューベルト多様体の仮説を支持するために、デマズール加群の組合せ論と代数的組合せ論の結果を用いる。
• キーポリノミアルおよび挿入アルゴリズムに関するコーンャート、ライナー–シモゾノ、ロス–ヨンの定理を用いて、$\mathfrak{S}_n$ の場合を分析する。
• エデルマン–グリーンの列挿入を用いて、単純表現に対応するテーブルウオの系列を数える。
• ACE および Coxeter/Weyl パッケージを用いたコンピュータ支援の列挙により、$\mathfrak{S}_5$、$\mathfrak{S}_6$、$\mathfrak{S}_7$ における非球面的要素を計算し、それぞれ 320 個および 3450 個の反例を特定した。
• コーンャートの規則を用いて、拡張変数集合における特定の $\kappa_\alpha$ の重複度フリー性の欠如を示し、それにより対応するシューベルト多様体が球面的でないことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイル群におけるどの要素が $I$-球面的であり、それらは $G/B$ におけるシューベルト多様体の幾何とどのように関係するか？
• RQ2 $\mathfrak{S}_n$ における $I$-球面的要素は、レヴィ部分群作用下での球面的シューベルト多様体に対応するか？
• RQ3 タイプ $A$ において、$I$-球面的要素はキーポリノミアル、重複度フリー性、およびスプリット対称性とどのように関係するか？
• RQ4 $I$-球面的要素は、単純表現およびテーブルウオ挿入の観点から、組合せ論的特徴づけが可能か？
• RQ5 $n$ が増加するにつれて、$\mathfrak{S}_n$ における非-$J(w)$-球面的置換の割合はどの程度か？

主な発見

• $\mathfrak{S}_n$ において $n \leq 4$ のすべての要素は $J(w)$-球面的であるが、$n \geq 5$ では成り立たず、$\mathfrak{S}_5$ に 320 個、$\mathfrak{S}_7$ に 3450 個の反例がある。
• $J(w)$-球面的要素の逆元が必ずしも $J(w)$-球面的でないことは、例として $24531^{-1} = 51423$ が非球面的リストに含まれないことから示された。
• タイプ $A$ において、$321$-回避な $I$-球面的要素は完全交換的であり、その単純表現は交換関係のみで接続される。
• $321$-回避な $w$ に対して、$w$ の $I$-ウィtness の数は単純表現の選択に依存しない。
• $\alpha = (0^a, 2, 1)$ のとき、$\kappa_\alpha$ の展開における係数は、特定の最小条件および行読み取り語条件を満たす増加テーブルウオの系列を数え、エデルマン–グリーン挿入により固定テーブル $T[\alpha]$ を得る。
• $\alpha = (3^f, 0^a, 2, 1)$ のとき、$\kappa_\alpha$ の $D^\prime$-スプリット展開は非一意な係数を持つため、$\kappa_\alpha$ は $D^\prime$-重複度フリーでない。これにより、定理 4.13 (II) より、対応するシューベルト多様体 $X_w$ は $L_{J(w)}$-球面的でない。