[論文レビュー] Coxeter Complexes and Graph-Associahedra

Michael Carr, Satyan L. Devadoss|ArXiv.org|Jul 13, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、与えられたグラフ Γ の連結部分グラフに基づく face poset を持つ、単純で凸な多面体の族であるグラフ・アソシアヘドロンを導入する。任意の単体的コクセター系に対して、そのコクセター複体の最小ブLOWアップが自然にグラフ・アソシアヘドロンによってタイル張りされ、これは実モジュライ空間のデリーニュ＝クヌーデンソン＝マウムフォードコンパクト化を一般化し、アソシアヘドロンとサイクロヘドロンに関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Given a graph G, we construct a simple, convex polytope whose face poset is based on the connected subgraphs of G. This provides a natural generalization of the Stasheff associahedron and the Bott-Taubes cyclohedron. Moreover, we show that for any simplicial Coxeter system, the minimal blow-ups of its associated Coxeter complex has a tiling by graph-associahedra. The geometric and combinatorial properties of the complex as well as of the polyhedra are given. These spaces are natural generalizations of the Deligne-Knudsen-Mumford compactification of the real moduli space of curves.

研究の動機と目的

• グラフ構造に基づく一貫した多面体的構成により、スターシェフのアソシアヘドロンとボット＝トーバーズのサイクロヘドロンを一般化すること。
• すべての単体的コクセター系に対して、コクセター複体の最小ブLOWアップがグラフ・アソシアヘドロンによってタイル張りされることを確立すること。
• 既知のモジュライ空間のコンパクト化を多面体的分解によって統一する幾何学的・組合せ論的枠組みを提供すること。
• カプラノフのコクセター複体とブLOWアップに関する観察を、より広いクラスのコクセター群へと拡張すること。

提案手法

• 単体の繰り返し切断によってグラフ・アソシアヘドロンを構成し、切断はグラフ Γ の 1-チュービング（連結部分グラフ）に対応する。
• チュービングを、交差しない、隣接しない、ネストされていない部分グラフの集合として定義し、互いに干渉しない関係に基づく適合性を規定する。
• 得られた多面体の face poset が、包含関係で順序付けられた有効なチュービングの poset と同型であることを証明する。
• コクセター複体と最小ブLOWアップの理論を用いて、単体的コクセター複体の最小ブLOWアップがグラフ・アソシアヘドロンに分解されることを示す。
• 複体内の最小ブLOWアップ要素とその面部分複体内のそれらの間の双対性を確立し、セルレーション構造を保存する。
• 超平面配置と球面コクセター群の結果を応用して、ブLOWアップが低次元のブLOWアップされた複体の積に分解されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アソシアヘドロンとサイクロヘドロンは、一貫した多面体的構成によって任意のグラフにどのように一般化できるか？
• RQ2 アソシアヘドロンによるデリーニュ＝クヌーデンソン＝マウムフォードコンパクト化のタイル張りが、他のコクセター系へと拡張可能か？
• RQ3 コクセター複体の最小ブLOWアップの構造は何か？ そして多面体的分解とどのように関係するか？
• RQ4 コクセター複体の面のブLOWアップとその部分複体におけるブLOWアップの関係は何か？ そしてこれを一貫的に定義可能か？
• RQ5 ブLOWアップされたコクセター複体の幾何的分解は、低次元の成分の積としてどのように記述できるか？

主な発見

• グラフ・アソシアヘドロンは、単純で凸な多面体であり、その face poset は、グラフ Γ 上の有効なチュービングの poset と同型であり、包含関係で順序付けられている。
• Γ が n−1 個の頂点を持つパスである場合、グラフ・アソシアヘドロンは次元 n−2 のスターシェフのアソシアヘドロンに一致する。
• 任意の単体的コクセター系 W に対して、そのコクセター複体の最小ブLOWアップ C(W)# は、W のグラフに関連するグラフ・アソシアヘドロンによってタイル張りされる。
• C(W)# 内の面 α のブLOWアップは、パラボリック部分群 W_α のブLOWアップされた複体と、W_α の射影化された複体の積に等しい。
• ブLOWアップされた複体のセルレーションはブLOWアップによって保存され、全複体とその面部分複体における最小ブLOWアップ要素の間に、自然な双対性が存在する。
• 各ブLOWアップセルが低次元のブLOWアップされた複体の積に分解されることにより、C(W)# 内に再帰的な幾何的構造が確認される。