[論文レビュー] Coxeter groups and automorphisms

Meinolf Geck, Lăcrimioara Iancu|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、生成集合 $S$ を保存する自己同型群 $Γ$ による固定部分群 $W^\Gamma$ が、Coxeter 群であることを、Coxeter 群における縮小表現のみを用いた組合せ的証明により示している。$\bar{S}$ を $W_I$ が有限であるような $\Gamma$-軌道 $I \subseteq S$ の集合とするとき、$W^\Gamma$ は生成元 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ を持つCoxeter群である。主な貢献は、反射表現に依存せずに、$W$ 上の長さ関数が $W^\Gamma$ 上の重み関数に制限されることを示したことである。

ABSTRACT

Let $(W,S)$ be a Coxeter system and $Γ$ be a group of automorphisms of $W$ such that $γ(S)=S$ for all $γ\in Γ$. Then it is known that the group of fixed points $W^Γ$ is again a Coxeter group with a canonically defined set of generators. The usual proofs of this fact rely on the reflection representation of $W$. Here, we give a proof which only uses the combinatorics of reduced expressions in $W$. As a by-product, this shows that the length function on $W$ restricts to a weight function on $W^Γ$.

研究の動機と目的

• Coxeter 群 $W$ の生成集合 $S$ を保存する自己同型群 $\Gamma$ による固定部分群 $W^\Gamma$ が、Coxeter 群であることを、完全に組合せ論的証明で示すこと。
• 反射表現を用いずに、$W$ 上の長さ関数 $l$ が $W^\Gamma$ 上の重み関数に制限されることを確立すること。
• $\bar{S}$ を $W_I$ が有限であるような $\Gamma$-軌道 $I \subseteq S$ の集合とするとき、集合 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ が $W^\Gamma$ の標準的なCoxeter生成元の集合をなすことの証明。
• $W$ において $l(ww') = l(w) + l(w')$ が成り立つことと、$W^\Gamma$ において $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$ が成り立つことが同値である条件の特定、ここで $\lambda$ は $W^\Gamma$ 上の長さ関数である。

提案手法

• $W_I$ の区別された右コセット代表元 $X_I$ を用いて、$W^\Gamma$ の元を $\Gamma$-軌道 $J \subseteq S$ に対する最長元 $w_J$ の積に分解すること。
• $w \in W^\Gamma$ の長さ $l(w)$ に関する帰納法を用い、$w$ を $w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$ の形に $l(w) = \sum l(w_{J_i})$ かつ $J_i \in \bar{S}$ となるように表すこと。
• $W$ における交換条件を用い、$\gamma(w) = w$ がすべての $\gamma \in \Gamma$ および $w \in W^\Gamma$ に対して成り立つことを利用して、$W^\Gamma$ における同様の条件を導出すること。
• $K = I \cup J$（$I,J \in \bar{S}$）に対して $W_K^\Gamma$ の二面体群構造を用い、$W^\Gamma$ の元の積構造と長さの挙動を分析すること。
• $m$ を二面体群の位数とするとき、$w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$（$m$ 項）の等式を確立し、$l(w_K) = \frac{m}{2}(l(w_I) + l(w_J))$ を示すこと。
• 帰納法と縮小表現の比較を用い、$W^\Gamma$ の元 $w$ を $w_I$ の積に最小分解する際の因子数が分解に依存しないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射表現を用いずに、$W^\Gamma$ がCoxeter群であるという事実を証明できるか？
• RQ2 $W$ 上の長さ関数 $l$ は $W^\Gamma$ 上の重み関数に制限されるか？
• RQ3 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ は $W^\Gamma$ の標準的なCoxeter生成元の集合であるか？
• RQ4 $W^\Gamma$ において $l(ww') = l(w) + l(w')$ が成り立つ条件は何か？
• RQ5 $W$ における縮小表現の組合せ論が $W^\Gamma$ の構造をどのように制御するか？

主な発見

• $W^\Gamma$ は、$\bar{S}$ を $W_I$ が有限であるような $\Gamma$-軌道 $I \subseteq S$ の集合とするとき、生成元 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ を持つCoxeter群である。
• $W$ 上の長さ関数 $l$ は $W^\Gamma$ 上の重み関数に制限され、$w,w' \in W^\Gamma$ に対して $l(ww') = l(w) + l(w')$ が成り立つことと $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$ が成り立つことが同値である。
• $W^\Gamma$ の任意の元 $w$ は $w = w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$（$J_i \in \bar{S}$）の形に表され、その因子数 $r$ は分解に依存せず、$\lambda(w)$ に等しい。
• $I,J \in \bar{S}$ で $I \neq J$ のとき、$W_{I \cup J}^\Gamma$ は位数 $2m$ の二面体群であり、$K = I \cup J$ に対する最長元 $w_K$ は $w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$（正確に $m$ 項）を満たす。
• $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ を生成元とする $W^\Gamma$ において、交換条件が成り立つことから、$(W^\Gamma, \{w_I \mid I \in \bar{S}\})$ がCoxeter系であることが確認される。
• $I_0 \subseteq S$ が $\Gamma$-安定で $W_{I_0}$ が有限である場合、$W_{I_0}$ を固定する $W$ の部分群 $\mathscr{W}^\Gamma$ は、$J \in \mathscr{S}$ に対して $s_J = w_{I_0 \cup J} w_{I_0}$ を生成元とするCoxeter群に拡張可能である。