[論文レビュー] Coxeter groups, Lorentzian lattices, and K3 surfaces

Richard E. Borcherds|ArXiv.org|Jun 25, 1998

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ型格子およびK3曲面に関連する無限Coxeter群における、パラボリック部分群の正規化群を計算する圏的枠組みを構築する。特に、特定の格子およびK3曲面の自己同型を支配する群$Γ_{\Omega}$が、有限圏$Q_4$の基本群と同型であることを示し、これにより明示的な表示が得られ、$Γ_{\Omega}$が有限コhomological次元を持つにもかかわらず、しばしば非算術的であることを証明する。

ABSTRACT

The main result of this paper describes the normalizer of a finite parabolic subgroup of a (possibly infinite) Coxeter group. We use this to compute the automorphism groups of some Lorentzian lattices and K3 surfaces.

研究の動機と目的

• 無限Coxeter群$W_\Pi$における有限パラボリック部分群$W_J$の正規化群を記述すること、特に$W_\Pi$が無限大である場合に焦点を当てる。
• Howlettの有限Coxeter群に関する結果を一般化し、$\Gamma_\Omega$（正規化構造$N_{W_\Pi}(W_J) = W_J \cdot W_\Omega \cdot \Gamma_\Omega$における謎めいた商群）を実現する有限圏$Q_4$を導入すること。
• $II_{1,25}$への埋め込みを用いて、ローレンツ型格子およびK3曲面の自己同型群を計算するためのフレームワークを応用し、リーク・格子およびニエメイヤー格子を用いる。
• $Γ_{\Omega}$が算術的である条件を特定し、有限仮想コhomological次元を持つにもかかわらず、しばしば非算術的であることを示すこと。
• 根系の組合せ論および図形自己同型を用いて、K3曲面の自己同型群に関する結果を再証明・拡張すること、特にヤコビアン・クラスマン曲面および「ほとんどの代数的」K3曲面に対して。

提案手法

• Coxeter図形$\Pi$と部分集合$J$からなる有限圏$Q_4$を構成し、その基本群が$\Gamma_\Omega$と同型であることを示す。
• $Q_4$を用いて$\Gamma_\Omega$の表示を導出し、$J = A_1$のとき$Q_4$が1次元的であるため、$\Gamma_\Omega$が自由群であることを示し、Brinkの結果を再現する。
• 反射群$II_{1,25}$のCoxeter図形に一般枠組みを適用する。これは、偶数ユニモジュラーなローレンツ型格子を記述する。
• 図形自己同型$\Gamma_\Pi$と部分群$R \triangleleft \Gamma_J$を用いて$W_\Omega$を変化させ、自己同型群に含める反射を制御する。
• ConwayとSloaneの$II_{1,25}$に関する結果およびKondoのK3曲面に関する研究を活用し、ピカール格子を根系格子の直交補空間として埋め込む。
• Margulisの正規部分群に関する定理とBorel–Serreの仮想コhomological次元の公式を用いて、$\Gamma_\Omega$が任意のランク$\geq 2$のLie群では算術的でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ケースバイケース解析が失敗する無限Coxeter群におけるパラボリック部分群の正規化群は、どのように記述できるか？
• RQ2 $N_{W_\Pi}(W_J) = W_J \cdot W_\Omega \cdot \Gamma_\Omega$における正規化構造における商群$\Gamma_\Omega$の構造は何か？
• RQ3 K3曲面の自己同型群は、$II_{1,25}$における根系の組合せ論および図形自己同型を用いて計算可能か？
• RQ4 $\Gamma_\Omega$が算術的である条件は何か？また、有限コhomological次元を持つにもかかわらず、いつ非算術的になるか？
• RQ5 ヤコビアン・クラスマン曲面の自己同型群は、圏$Q_4$および$\Gamma_\Omega$の構造を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• $\Gamma_\Omega$は有限圏$Q_4$の基本群と同型であり、これにより$\Gamma_\Omega$の明示的表示が計算可能である。
• $J = A_1$のとき、圏$Q_4$は1次元的であり、$\Gamma_\Omega$は自由群である。これはBrinkの結果を再現する。
• 一般の genus 2 曲線のヤコビアン・クラスマン曲面に対して、$\Gamma_\Omega \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^5 \cdot S_6) \ast_{S_5} (S_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$であり、192個の$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の自由積からなる正規部分群を有する。
• K3曲面の自己同型群の$\Gamma_\Omega$は、任意のランク$\geq 2$のLie群$G$において算術的でない。これは、2次元の忠実な表現に耐えられないほど大きな有限部分群が存在するためである。
• $n \leq 19$のとき、$I_{1,n}$の反射群は$\mathrm{O}^+(I_{1,n})$において有限指数を持ち、$\Gamma_\Omega$は有限である。$n = 20$では例外的な$D_5$の場合に失敗する。
• $J = D_4$かつ$R = \mathrm{Aut}(J) = S_3$のとき、$\Gamma_\Omega$は有限である。これは$R$の選択が$\Gamma_\Omega$の構造に顕著な影響を与えることを示している。