[論文レビュー] CP-Semigroups and Dilations, Subproduct Systems and Superproduct Systems: The Multi-Parameter Case and Beyond

Orr Moshe Shalit, Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、PaschkeのGNS構成を用いて、CP-半群の拡大理論と積系を1パrameterから多パrameterおよび一般のモノイド設定へと拡張する。Markov半群が全（厳密または正規）拡大をもつことと、そのGNS部分積系が積系に埋め込まれることとは同値であり、拡大の不変量として超積系を導入し、1パラメータの場合への一般化の限界を強調する多数の反例を提示する。

ABSTRACT

These notes are the output of a decade of research on how the results about dilations of one-parameter CP-semigroups with the help of product systems, can be put forward to d-parameter semigroups - and beyond. While exisiting work on the two- and d-parameter case is based on the approach via the Arveson-Stinespring correspondence of a CP-map by Muhly and Solel (and limited to von Neumann algebras), here we explore consequently the approach via Paschke's GNS-correspondence of a CP-map by Bhat and Skeide. (A comparison is postponed to Appendix A(iv).) The generalizations are multi-fold, the difficulties often enormous. In fact, our only true if-and-only-if theorem, is the following: A Markov semigroup over (the opposite of) an Ore monoid admits a full (strict or normal) dilation if and only if its GNS-subproduct system embeds into a product system. Already earlier, it has been observed that the GNS- (respectively, the Arveson-Stinespring) correspondences form a subproduct system, and that the main difficulty is to embed that into a product system. Here we add, that every dilation comes along with a superproduct system (a product system if the dilation is full). The latter may or may not contain the GNS-subproduct system; it does, if the dilation is strong - but not only. Apart from the many positive results pushing forward the theory to large extent, we provide plenty of counter examples for almost every desirable statement we could not prove. Still, a small number of open problems remains. The most prominent: Does there exist a CP-semigroup that admits a dilation, but no strong dilation? Another one: Does there exist a Markov semigroup that admits a (necessarily strong) dilation, but no full dilation?

研究の動機と目的

• 1パラメータのCP-半群拡大理論（積系に基づく）をdパラメータおよび一般のモノイドインデックス付き半群へ一般化すること。
• Oreモノイド上のMarkov半群が全拡大をもつことの特徴づけを、GNS部分積系が積系に埋め込まれることによって与えること。
• 拡大の不変量としての超積系を導入・分析し、部分積系とは区別し、拡大理論におけるその役割を明確にすること。
• 多パラメータ設定において失敗する多くの自然な一般化を特定し、反例を提供することで、理論の境界を明確にすること。
• ユニタリゼーションが非MarkovとMarkovの場合を結ぶ役割を果たすことを探索し、特に最小性と強い拡大の文脈で考察すること。

提案手法

• PaschkeのGNS構成を用いて、半群に属する各CP写像に対して対応関係と循環的ベクトルを関連付け、GNSデータから部分積系を構成する。
• 拡大に関連する積系として超積系を定義・分析し、それがGNS部分積系を含むことがあることを示す。
• モノイド上の積系の理論（単位元およびテンソル積構造を含む）を適用し、拡大の代数的および位相的性質を分析する。
• 非Markov CP-半群とMarkov半群を結ぶための技術としてユニタリゼーションを導入し、Markovの場合の結果を一般の場合へ移すことを可能にする。
• 反例を用いて、多くの自然な含意（例えば、部分積系が超積系に埋め込まれないなど）が多パラメータ設定で失敗することを示す。
• von Neumannモジュール理論および対応関係を用いて、特に正規および全拡大の文脈で、結果をvon Neumann代数設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の拡大をもつCP-半群は、常に強い拡大をもつか？
• RQ2 任意の拡大をもつMarkov半群（必然的に強いもの）は、全拡大をもつか？
• RQ3 代数的に最小でないが、ユニタリゼーションが代数的に最小である強い拡大は存在するか？
• RQ4 C*-対応関係のテンソル積は、交差性をもつのか？ すなわち、部分積系の交わりが再び部分積系となるのか？
• RQ5 任意の超積系に埋め込まれない非自明な部分積系の例は存在するか？

主な発見

• Oreモノイド上のMarkov半群が全（厳密または正規）拡大をもつことと、そのGNS部分積系が積系に埋め込まれることとは同値である。
• CP-半群の任意の拡大には、それに関連する超積系が存在する。この超積系がGNS部分積系を含むことは、その拡大が強いことと同値である。
• 拡大のユニタリゼーションは、全拡大性、厳密性、強い圧縮可能性といった重要な性質を保ち、ユニタリゼーションの超積系は元の拡大の超積系と同一の構造的特徴を反映する。
• GNS部分積系が自己随伴でないCP-半群が存在することを示し、理論が標準的ヒルベルトモジュール技法に完全に還元できないことを示す。
• 反例により、多くの自然な一般化（例えば、全拡大の存在が強い拡大の存在を含むこと、部分積系の交わりが再び部分積系となること）が多パラメータ設定で失敗することが示される。
• ユニタリゼーション理論により、ユニタリゼーションが元の代数と同型でない場合でさえ、Markovから非Markovの場合への結果の移行が可能である。