[論文レビュー] CR-Invariants and the Scattering Operator for Complex Manifolds with Boundary

Peter D. Hislop, Peter Perry+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、厳密に擬強凸なCR多様体を境界として持つアンビエントな複素ケーラー多様体上のラプラシアンの散乱作用素の留数として、CR共変微分作用素とCR $Q$-曲率が生じることを確立している。主な結果は、散乱作用素が有限部積分と留数計算を通じて $P_k$ 作用素とCR $Q$-曲率を符号化しており、Poincaré–Einstein多様体におけるGrahamとZworskiの結果をCR幾何学的設定へ一般化していることである。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to describe certain CR-covariant differential operators on a strictly pseudoconvex CR manifold $M$ as residues of the scattering operator for the Laplacian on an ambient complex Kähler manifold $X$ having $M$ as a `CR-infinity.' We also characterize the CR $Q$-curvature in terms of the scattering operator. Our results parallel earlier results of Graham and Zworski \cite{GZ:2003}, who showed that if $X$ is an asymptotically hyperbolic manifold carrying a Poincaré-Einstein metric, the $Q$-curvature and certain conformally covariant differential operators on the `conformal infinity' $M$ of $X$ can be recovered from the scattering operator on $X$. The results in this paper were announced in \cite{HPT:2006}.

研究の動機と目的

• 厳密に擬強凸なCR多様体上のCR共変微分作用素とCR $Q$-曲率を、散乱作用素を用いて特徴付けること。
• GrahamとZworskiによるPoincaré–Einstein多様体における $Q$-曲率および共形不変作用素の散乱理論的構成を、CR幾何学的設定へ拡張すること。
• アンビエントケーラー多様体 $X$ の境界として $M$ を持つとき、その散乱作用素が残留および有限部積分を通じてCR $P_k$ 作用素と $Q$-曲率を符号化することを確立すること。
• 境界が無限遠に位置するアンビエント複素多様体上のラプラシアンの漸近的解析を通じて、CR不変量の幾何的実現を与えること。

提案手法

• 次元 $m=n+1$ のアンビエント複素ケーラー多様体 $X$ を構成し、次元 $2n+1$ の厳密に擬強凸なCR境界 $M$ を持つこと。
• 定義関数 $\varphi$ を用いて $X$ 上にケーラー計量 $g_\varphi$ を定義し、内部では $\varphi<0$ であり、$M$ の近傍で $\varphi$ に関する漸近展開を持つこと。
• ラプラシアン $\Delta_{g_\varphi}$ に関連する散乱作用素を研究し、そのメロモルフィックな拡張と留数を分析すること。
• 境界近傍における固有値問題 $\Delta_{g_\varphi}u_s = s(m-s)u_s$ の解 $u_s$ の漸近展開を用いて留数を抽出すること。
• $|du_s|^2 \omega^m$ および $u_s^2 \omega^m$ の有限部積分を計算し、$x^{2m-2s}$ 項（$x = -\varphi$）からの寄与を分離すること。
• 解 $u_s^2$ の展開における $x^{2m-2s}$ 項の係数を用いて、散乱作用素の留数をCR $Q$-曲率と関連づけ、$-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$ に一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に擬強凸なCR多様体 $M$ 上のCR共変微分作用素 $P_k$ は、アンビエントケーラー多様体 $X$ の散乱作用素からどのように回復可能か？
• RQ2 CR $Q$-曲率は、複素幾何的設定下で散乱作用素の留数として特徴付けられるか？
• RQ3 散乱作用素がCR境界 $M$ の共形不変量をどの程度符号化しているか？
• RQ4 固有値問題 $\Delta_{g_\varphi}u_s = s(m-s)u_s$ の解の漸近挙動は、$M$ 上の幾何的不変量をどのように導くか？

主な発見

• 次数 $2k$ のCR共変微分作用素 $P_k$ は、アンビエントケーラー多様体 $X$ 上のラプラシアンの散乱作用素の留数として生じる。
• CR $Q$-曲率 $Q^{CR}_\theta$ は、$\int_X u_s^2 \omega^m$ の有限部を通じて散乱作用素の留数として回復され、具体的には $-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$ に一致する。
• 散乱作用素の $s=m$ における留数は、$u_s^2$ 展開における $x^{2m-2s}$ 項を抽出し、その寄与は $m/2 \cdot L$ となる。ここで $L$ は漸近的体積係数である。
• $u_s^2$ 展開における項 $2x^{2m-2s}F_m(s)$ の寄与は $-m c_m \int_M Q^{CR}_\theta \psi$ に一致し、散乱作用素の留数とCR $Q$-曲率を直接的に関連づける。
• $|du_s|^2$ 項の散乱積分からの寄与は、$s \to m$ の有限部極限において消えることが示され、留数が $u_s^2$ 項によってのみ決定されることを保証する。
• 境界項 $\partial_y u_s$ は、導関数が $(m-s)$ 階の減衰を示すため、$s \to m$ の極限で消える。これにより、留数計算の有限性と正しさが確認される。