[論文レビュー] Craig Interpolation and Access Interpolation with Clausal First-Order Tableaux

Christoph Wernhard|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Advanced Database Systems and Queries参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、クラウーズ型一階述語論理のテーブルックスを用いてCraig-Lyndon補間とアクセス補間を計算する基盤を提示する。これにより、現代の定理証明系への効率的統合が可能となる。ヒルベルトの定理に基づく、計算体系に依存しない持ち上げ法を導入し、アクセス補間のための構造的制約を前処理またはテーブルックス構築段階で強制することで、トップダウンおよびボトムアップの定理証明アプローチの両方をサポートし、実装可能性に優れる。

ABSTRACT

We develop foundations for computing Craig interpolants and similar intermediates of two given formulas with first-order theorem provers that construct clausal tableaux. Provers that can be understood in this way include efficient machine-oriented systems based on calculi of two families: goal-oriented like model elimination and the connection method, and bottom-up like the hyper tableau calculus. The presented method for Craig-Lyndon interpolation involves a lifting step where terms are replaced by quantified variables, similar as known for resolution-based interpolation, but applied to a differently characterized ground formula and proven correct more abstractly on the basis of Herbrand's theorem, independently of a particular calculus. Access interpolation is a recent form of interpolation for database query reformulation that applies to first-order formulas with relativized quantifiers and constrains the quantification patterns of predicate occurrences. It has been previously investigated in the framework of Smullyan's non-clausal tableaux. Here, in essence, we simulate these with the more machine-oriented clausal tableaux through structural constraints that can be ensured either directly by bottom-up tableau construction methods or, for closed clausal tableaux constructed with arbitrary calculi, by postprocessing with restructuring transformations.

研究の動機と目的

• クラウーズ型一階述語論理のテーブルックスを用いたCraig-Lyndon補間を計算する理論的かつ実用的な基盤を確立すること。この基盤は、幅広い現代の定理証明系に適用可能である。
• このフレームワークを、相対化された存在限定子を伴うデータベースクエリ再構成に適したアクセス補間へと拡張すること。
• 特にクラウーズ型テーブルックスに基づく、効率的で機械指向の定理証明システムを、そのコアアルゴリズムを変更せずに補間計算に利用可能とすること。
• 補間の持ち上げが、特定の計算体系に依存しない形でヒルベルトの定理を用いて抽象的に行えることを示し、異なる証明体系における補間の統一的取り扱いを可能とすること。

提案手法

• 本稿では、地面の論理式に含まれる項を量化された変数に置き換える持ち上げ変換を導入し、地面の補間を一階補間に変換する。この変換はヒルベルトの定理によって正当化される。
• この持ち上げ法が、テーブルックスが閉じてかつ不充足可能である限り、いかなる下位の計算体系に対しても、Craig-Lyndon補間に関して妥当かつ完全であることを示している。
• アクセス補間の文脈では、テーブルックスに構造的制約を課して存在限定子のスコープパターンを保持し、補間に現れる記号がすべてターゲット言語のものに限られることを保証する。
• 個々の論理式に対する前処理としての「局所的」推論と、テーブルックス全体での共同処理としての「非局所的」推論を区別することで、モジュラーな補間計算を可能にする。
• ボトムアップ型テーブルックス（例：ハイパーテーブルックス）では、構築段階で構造的制約を強制可能。他の計算体系では、任意の閉じたテーブルックスを正当な形式に再構成する後処理ステップを用いる。
• 本アプローチは一般性に優れ、ゴール指向型（例：モデル除去、接続法）およびデータ指向型（例：ハイパーテーブルックス）の両方の定理証明手法に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトに基づく持ち上げ法を用いて、下位の計算体系に依存せず、クラウーズ型テーブルックスを用いたCraig-Lyndon補間を効率的に計算できるか？
• RQ2 存在限定子のスコープに制約を課す必要があるアクセス補間は、クラウーズ型テーブルックス枠組み内でどのようにサポートできるか？
• RQ3 テーブルックスベース補間における「局所的」と「非局所的」推論の役割は何か？また、これは解像度に基づくアプローチとはどのように異なるか？
• RQ4 アクセス補間のための構造的制約は、テーブルックス構築段階で強制できるか、それとも高コストな後処理に頼る必要があるか？
• RQ5 クラウーズ型テーブルックスは、そのクラウーズ構造の保存により、解像度よりも補間計算において根本的な利点を有するか？

主な発見

• 提案されたCraig-Lyndon補間の持ち上げ法は妥当かつ完全であり、内部論理を変更せずに、いかなるクラウーズ型テーブルックス証明系に対しても一貫して適用可能である。
• この方法により、閉じたクラウーズ型テーブルックスを構築する任意の一階定理証明系を、既存の最適化手法やデータ構造を活用して補間計算に利用可能にする。
• アクセス補間の文脈では、ハイパーテーブルックス計算体系のようなボトムアップ手法では、構造的制約をネイティブに強制可能であり、高コストな再構成を回避できる。
• 構造的制約を自然に強制しない計算体系を用いる場合、後処理による変換により任意の閉じたテーブルックスを正当な形式に再構成可能だが、この過程で部分テーブルックスの複製が発生する可能性がある。
• 本フレームワークは、トップダウン（ゴール指向）およびボトムアップ（データ指向）の両方の定理証明手法をサポートし、補間技術の適用範囲を広げる。
• トップダウン証明系（PIE/CM）を用いたCraig-Lyndon補間の初期実装がすでに存在し、本アプローチの実用的妥当性を示している。