[論文レビュー] Cram\'{e}r's moderate deviations for martingales with applications

Xiequan Fan, Qi-Man Shao|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2022

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、予測可能二次変動の条件付きベルンシュタイン条件および尾部集中条件の下で、正規化マルティンゲール $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ および標準化マルティンゲール $X_n / \sqrt{\mathbb{E}X_n^2}$ に対するCramérの中程度偏差展開を確立する。主な結果は、$x = o(n^{1/6})$ の場合、尾確率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ が標準正規尾 $1 - \Phi(x)$ に漸近的に同値であることを示しており、i.i.d. 確率変数の古典的Cramér結果を、象りんくランダムウォークや自己回帰過程などのモデルに広く適用可能なマルティンゲール設定へと拡張する。

ABSTRACT

Let $(\xi_i,\mathcal{F}_i)_{i\geq1}$ be a sequence of martingale differences. Set $X_n=\sum_{i=1}^n \xi_i $ and $ \langle X angle_n=\sum_{i=1}^n \mathbf{E}(\xi_i^2|\mathcal{F}_{i-1}).$ We prove Cram\'er's moderate deviation expansions for $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{\langle X angle_n} \geq x)$ and $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2} \geq x)$ as $n o\infty.$ Our results extend the classical Cram\'{e}r result to the cases of normalized martingales $X_n/\sqrt{\langle X angle_n}$ and standardized martingales $X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2}$, with martingale differences satisfying the conditional Bernstein condition. Applications to elephant random walks and autoregressive processes are also discussed.

研究の動機と目的

• i.i.d. 和に対するCramérの古典的中程度偏差結果を、予測可能二次変動 $\langle X \rangle_n$ を用いた正規化マルティンゲール $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ に拡張すること。
• 正規近似における尾確率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ の相対誤差に対する精密な漸近的展開を確立し、標準化マルティンゲールに対する既存の結果を改善すること。
• 古典的Lindeberg条件や条件付きモーメント条件を満たさない非i.i.d. および従属過程（例：象りんくランダムウォーク、自己回帰過程）に適用可能なフレームワークを提供すること。
• 制限的な一様有界性条件 (1.3) を、より自然な二次変動の尾部集中条件 (1.9) に置き換えることにより、より広範な適用可能性を実現すること。
• 時系列モデルにおける推定量のための中程度偏差原理および漸近的信頼区間を導出すること。特にAR(1)過程における自己回帰パラメータの推定量に対して応用する。

提案手法

• 条件 (A1) および (A2) を導入する：(A1) はマルティンゲール差分の高階条件付きモーメントに関する条件付きベルンシュタイン条件、(A2) は予測可能二次変動 $\langle X \rangle_n$ がその期待値から逸脱する確率のサブガウス型尾部バウンド。
• マルティンゲール中心極限定理の技術と指数モーメントのバウンドを用いて、正規化マルティンゲール $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ のモーメント母関数を制御する。
• Gärtner-Ellis定理のバージョンおよび指数チフトを用いて、尾確率の対数に対する中程度偏差展開を導出する。
• 正規化マルティンゲールの尾確率の対数と標準正規尾の対数の差の絶対値を、$x^3(\epsilon_n + \delta_n)$ および $\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|$ の項で上から抑える、重要な不等式（定理2.1）を確立する。
• この展開を用いて、$x = o(n^{1/6})$ の場合に $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) \sim 1 - \Phi(x)$ が成り立つことを示し、古典的Cramér結果をマルティンゲールへと拡張する。
• 2つの具体的なモデル（象りんくランダムウォークとAR(1)過程）にこの結果を適用し、新しい条件の下で尾近似が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 和で知られているCramérの中程度偏差展開を、より弱いモーメントおよび集中条件の下で正規化マルティンゲール $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ に拡張することは可能か？
• RQ2 条件付きモーメントおよび二次変動の集中に関するどのような条件が、尾確率 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ が標準正規尾 $1 - \Phi(x)$ に漸近的に同値であることを保証するか？
• RQ3 古典的i.i.d. 場合と比較して、中程度偏差展開の有効範囲はどの程度か？$x = o(n^{1/6})$ まで拡張可能か？
• RQ4 古典的Lindeberg条件を満たさない非i.i.d. な過程（例：象りんくランダムウォーク、自己回帰過程）に対しても、この結果は適用可能か？
• RQ5 統計的推論において、特に時系列モデルにおけるパrameter推定量の信頼区間の構築にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 条件 (A1) および (A2) の下で、$\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ の正規近似における相対誤差は、$c\left( x^3(\epsilon_n + \delta_n) + (1+x)(\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|) \right)$ で上から抑えられ、$n \to \infty$ のとき $\epsilon_n, \delta_n \to 0$ である。
• $x = o(n^{1/6})$ の場合、尾確率は $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) = 1 + o(1)$ を満たし、これはi.i.d. 列に対する古典的Cramér結果と一致する。
• 展開式 (1.10) は正規化マルティンゲールに限らず、同じ条件下で標準化マルティンゲール $S_n / \sqrt{n\sigma^2}$に対しても成り立ち、既存の結果を拡張する。
• 象りんくランダムウォークにこの結果を適用したところ、条件付きベルンシュタイン条件および二次変動の集中が確認され、$x = o(n^{1/6})$ に対して中程度偏差展開が成立することが示された。
• AR(1)過程に対しては、最小二乗推定量 $\hat{\theta}_n$ に対する中程度偏差原理が得られ、漸近的信頼度 $1 - \kappa_n$ を持つ信頼区間 $[A_n, B_n]$ が構成された。
• 自己回帰パラメータ $\theta$ に対する漸近的信頼区間 $[A_n, B_n]$ の幅は $o(n^{1/6})$ であることが示され、中程度偏差スケーリングと整合的である。