[論文レビュー] Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions

Yaozhong Hu, Yanghui Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hurtsパラメータ $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ を持つ多次元分数 Browm運動（fBm）によって駆動される確率微分方程式（SDE）に対するCrank-Nicolsonスキームを分析する。次元およびドリフトの影響を受ける正確な収束速度を確立する：ゼロドリフトの1次元SDEでは $ n^{-2H} $、非ゼロドリフトでは $ n^{-\frac{1}{2}-H} $、一般の $ m>1 $ の場合では $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ であり、誤差の極限分布は元のfBmとは独立なブラウン運動によって駆動される線形SDEに従う。

ABSTRACT

We study the Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations (SDEs) driven by multidimensional fractional Brownian motion $(B^{1}, \dots, B^{m})$ with Hurst parameter $H \in (\frac 12,1)$. It is well-known that for ordinary differential equations with proper conditions on the regularity of the coefficients, the Crank-Nicolson scheme achieves a convergence rate of $n^{-2}$, regardless of the dimension. In this paper we show that, due to the interactions between the driving processes $ B^{1}, \dots, B^{m} $, the corresponding Crank-Nicolson scheme for $m$-dimensional SDEs has a slower rate than for the one-dimensional SDEs. Precisely, we shall prove that when $m=1$ and when the drift term is zero, the Crank-Nicolson scheme achieves the exact convergence rate $n^{-2H}$, while in the case $m=1$ and the drift term is non-zero, the exact rate turns out to be $n^{-\frac12 -H}$. In the general case when $m>1$, the exact rate equals $n^{\frac12 -2H}$. In all these cases the limiting distribution of the leading error is proved to satisfy some linear SDE driven by Brownian motions independent of the given fractional Brownian motions.

研究の動機と目的

• H > \frac{1}{2} を持つ多次元分数 Browm運動（fBm）によって駆動されるSDEに対するCrank-Nicolsonスキームの収束挙動を調査すること。
• スカラーの場合に観察された収束速度が多次元設定に拡張されるかどうかを特定すること。
• 多次元設定における正確な収束速度を同定し、主な誤差項の極限分布を特徴付けること。
• ドリフト項および複数のfBm成分間の相互作用がスキームの収束に与える影響を分析すること。

提案手法

• Crank-Nicolsonスキームは $ X^{n}_{t_{k+1}} = X^{n}_{t_{k}} + \frac{1}{2}[V(X^{n}_{t_{k+1}}) + V(X^{n}_{t_{k}})](B_{t_{k+1}} - B_{t_{k}}) $ として定義され、時間分割 $ t_k = kT/n $ を用いる。
• fBmの粗いパスおよび非マルコフ性を扱うために、Malliavin微積分および分数級微積分が分析に用いられる。
• 真の解と数値近似との間の誤差を分解するために、Doss-Sussmann表現および積の法則の恒等式が用いられる。
• 反復積分におけるfBmの増分および微分項の $ \beta $-ホルダーノルムおよび $ L^p $-ノルムを用いた主要な推定が導出される。
• 正規化誤差の極限分布が、元のfBmとは独立なブラウン運動によって駆動される線形SDEを満たすことが示される。
• 誤差を複数の成分に分解し、流れの変動に関する推定および指数モーメントを用いて、それらの $ L^p $-ノルムを評価することで証明が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H > \frac{1}{2} を持つfBmによって駆動される多次元SDEに対して、Crank-Nicolsonスキームは収束するか？また、スカラーの場合と同一の収束速度を達成するか？
• RQ2 複数のfBm成分および非ゼロドリフトが存在する状況下で、Crank-Nicolsonスキームの正確な収束速度は何か？
• RQ3 複数のfBm成分間の相互作用は、1次元の場合と比較して収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 このようなSDEにおけるCrank-Nicolsonスキームの主な誤差項の極限分布は何か？

主な発見

• ゼロドリフトの1次元SDEでは、Crank-Nicolsonスキームが正確な収束速度 $ n^{-2H} $ を達成する。
• 1次元の場合にドリフト項が非ゼロであると、正確な収束速度は $ n^{-\frac{1}{2}-H} $ となる。
• 一般の $ m>1 $ の場合、正確な収束速度は $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ であり、1次元ゼロドリフトの場合よりも遅い。
• 正規化誤差過程 $ n^{\text{rate}+1}(X - X^n) $ の極限分布は弱収束し、非退化な極限に収束する。この極限は、元のfBmとは独立なブラウン運動によって駆動される線形SDEを満たす。
• 複数のfBm成分間の相互作用のため、古典的な確定的ODEにおける $ n^{-2} $ の収束速度よりも遅い収束が生じる。
• 解析により、収束速度が $ n^{\frac{1}{2}-2H} $ であるという予想が確認されたが、ドリフトおよび次元に関する特定の条件下でのみ成立する。