[論文レビュー] Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9

Inder J. Taneja|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

AI-based Problem Solving and Planning参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、0から11111までの自然数を、1から9の数字を正確に1回ずつ使い、増加順および減少順に並べたものを使って表現する体系的な調査を提示する。基本的な算術演算（加法、減法、乗法、除法、べき乗）および括弧を用いて、ほぼすべての数を表現可能であるが、増加順の場合に10958だけが未解決のまま残っている。本研究は、過去の研究において不足していた約1,250の数を埋めるために減法と除法を組み込むことで、前人未到の成果を達成した。

ABSTRACT

Natural numbers from 0 to 11111 are written in terms of 1 to 9 in two different ways. The first one in increasing order of 1 to 9, and the second one in decreasing order. This is done by using the operations of addition, multiplication, subtraction, potentiation, and division. In both the situations there are no missing numbers, except one, i.e., 10958 in the increasing case.

研究の動機と目的

• 0から11111までの自然数を、1から9の数字を厳密に増加順および減少順に並べたものを使って表現すること。
• 加法、乗法、べき乗のみを用いた先行研究では約1,250の数が欠落していた問題を、減法と除法の導入によって解消すること。
• 増加順の表現において、唯一未解決の数である10958を特定・記録すること。
• 加法、乗法、べき乗を超える演算の拡張によって生じる表現の組み合わせ的爆発的増加の程度を調査すること。
• 桁の順序に従った表現の包括的リファレンスを提供すること。

提案手法

• 著者は、増加または減少順に並べた1から9までのすべての数字を正確に1回ずつ使って式を構成する。
• 基本的な演算には加法、減法、乗法、除法、べき乗、および括弧によるグループ化が含まれる。
• 桁の連結と演算の適用に関する再帰的および組み合わせ的探索によって式を構築する。
• 著者は、T.J. エックマンの支援を受けて、計算スクリプトを用いて複雑な表現の検証および発見を実施した。
• 減法と除法を体系的に適用することで、過去の研究で欠落していた数を解消した。
• 本手法は、順序制約下での演算と桁のグループ化の有効な組み合わせを生成する基盤に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0から11111までの自然数を、1から9の数字を増加順に並べ、基本的な算術演算と括弧を用いて表現することは可能か？
• RQ2 なぜ与えられた制約下で、増加順の表現において10958だけが表現不能なのであろうか？
• RQ3 減法と除法の導入が、順序付き数の表現の完全性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 演算制約下で、桁の順序列から有効な式を生成する際の組み合わせ的複雑性はどの程度か？
• RQ5 階乗、平方根、小数演算を導入することで、10958の表現欠落問題はどの程度解消可能か？

主な発見

• 0から11111までのすべての数が、+、−、×、÷、^、および括弧を用いて、1から9の数字を増加順および減少順に並べたもので成功裏に表現された。
• 増加順のケースにおいて、10958だけが未表現のまま残っており、減法と除法を多用しても解決されなかった。
• 減法と除法の導入により、加法、乗法、べき乗のみを用いた先行研究で欠落していた約1,250の数が解消された。
• 合計1,256の数が減法と/または除法を必要とし、増加順で611、減少順で645、両者に共通する数は178であった。
• 本稿では、0から11111までのすべての数について明示的な表現を提供しており、例えば11111 = 1 × 23 × 456 + 7 × 89 という複雑なケースも含まれる。
• 減少順での11111の表現は −9 + 8 × 7 −6 × (5 −432 × 1) であり、負の数やネストされた演算の強力さを示している。