[論文レビュー] Creation of fermions by rotating charged black-holes

Dietrich Häfner|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 38被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、星の崩壊によって形成された回転・電荷を帯びたブラックホールの文脈において、フェルミ粒子に対するホーキング効果の厳密な数学的証明を提供する。キヤー・ニューマン計量と、単純な光線的測地線に基づく新規座標系を用いて、ブラックホールから遠く離れた静止観測者が漸近的にフェルミ粒子の熱的状態を検出することを確立し、球対称でない回転する時空における量子的粒子生成、つまりホーキング放射の確認に成功した。

ABSTRACT

This work is devoted to the mathematical study of the Hawking effect for fermions in the setting of the collapse of a rotating charged star. We show that an observer who is located far away from the star and at rest with respect to the Boyer Lindquist coordinates observes the emergence of a thermal state when his proper time goes to infinity. We first introduce a model of the collapse of the star. We suppose that the space-time outside the star is given by the Kerr-Newman metric. The assumptions on the asymptotic behavior of the surface of the star are inspired by the asymptotic behavior of certain timelike geodesics in the Kerr-Newman metric. The Dirac equation is then written using coordinates and a Newman-Penrose tetrad which are adapted to the collapse. This coordinate system and tetrad are based on the so called simple null geodesics. The quantization of Dirac fields in a globally hyperbolic space-time is described. We formulate and prove a theorem about the Hawking effect in this setting. The proof of the theorem contains a minimal velocity estimate for Dirac fields that is slightly stronger than the usual ones and an existence and uniqueness result for solutions of a characteristic Cauchy problem for Dirac fields in the Kerr-Newman space-time. In an appendix we construct explicitly a Penrose compactification of block I of the Kerr-Newman space-time based on simple null geodesics.

研究の動機と目的

• 星の崩壊によって形成された回転・電荷を帯びたブラックホールの重力場におけるディラックフェルミ粒子に対するホーキング効果を、厳密に確立すること。
• 散乱理論および量子場の量子化を、球対称でないキヤー・ニューマン時空へと拡張すること。
• キヤー・ニューマン時空のブロック I のペトリスコンパクト化を、単純な光線的測地線を用いて構成し、グローバルな幾何的記述を可能にすること。
• キヤー・ニューマン時空におけるディラック場の特徴的初期値問題の解の存在、一意性、および速度推定を証明すること。
• 将来の光的無限遠点における散乱理論の完全性と熱化状態が成立し、フェルミ粒子に対するホーキング効果が確認されること。

提案手法

• 回転・電荷を帯びた星の崩壊を、星の外側でキヤー・ニューマン計量を用いてモデル化し、零角運動量およびエネルギーを持つ時空的測地線から導かれる境界条件を適用する。
• 単純な光線的測地線に適合した新規のニューマン・ペンローズ四元系および座標系（スターキャー座標）を導入し、キヤー・ニューマン背景におけるディラック方程式の簡略化を図る。
• 崩壊した時空多様体上でのディラック方程式を定式化し、リプシッツ的時空的超曲面上のデータをもとに、特徴的初期値問題の解の存在および一意性を証明する。
• 散乱理論および波作用素の構成に不可欠な、標準的推定よりもわずかに強い最小速度推定を確立する。
• グローバルにハイパボリックな時空における第二量子化を適用し、量子場理論の枠組みを定義し、漸近的粒子内容を分析する。
• スターキャー座標を用いて、キヤー・ニューマン時空のブロック I の明示的ペトリスコンパクト化を構成し、将来および過去の光的無限遠点の幾何的記述を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称でない、回転および電荷を帯びたキヤー・ニューマン時空において、フェルミ粒子に対するホーキング効果は継続するか？
• RQ2 球対称性の欠如および変数分離の不可能性を考慮すると、キヤー・ニューマン幾何におけるディラック場の厳密な散乱理論は構築可能か？
• RQ3 ディラック場の将来の光的無限遠点における漸近的挙動は何か？ そしてホーキングが予測したように、熱的状態に収束するか？
• RQ4 特にホーキング面付近において、キヤー・ニューマン背景におけるディラック場の特徴的初期値問題は、一意的かつ滑らかに解けるか？
• RQ5 単純な光線的測地線を用いて、キヤー・ニューマン時空のブロック I のペトリスコンパクト化を明示的に構成できるか？ これによりグローバル構造の記述が可能になるか？

主な発見

• ボイヤー＝リンデンブルグ座標系で静止している観測者が、固有時間の無限大に近づくにつれて、ブラックホールから遠く離れた位置でフェルミ粒子の熱的状態を検出することを確認し、ディラック場に対するホーキング効果を裏付けた。
• 単純な光線的測地線に基づく新規の座標系およびニューマン・ペンローズ四元系により、キヤー・ニューマン時空におけるディラック方程式の適切な定式化が可能になった。
• 標準的推定よりも強い最小速度推定が証明され、散乱理論における制御の向上が可能になった。
• 崩壊時空多様体上でのディラック場の特徴的初期値問題の解の存在および一意性が確立された。
• スターキャー座標を用いて、キヤー・ニューマン時空のブロック I の明示的ペトリスコンパクト化が構成され、将来および過去の光的無限遠点が滑らかな超曲面として定義された。
• ディラック場の漸近的ダイナミクスが、将来の光的無限遠点において自由場とユニタリ同値であることが示され、放出される放射の熱的性質が確認された。