[論文レビュー] Criss-Cross Deletion Correcting Codes

Rawad Bitar, Ilia Smagloy+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2020

DNA and Biological Computing参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1行および1列が削除される可能性がある $n \times n$ 配列に対する $(1,1)$-クロスカット削除訂正符号を導入する。冗長性の漸近的下界として $2n - 2 + 2\log n$ ビットを確立し、明示的な復号が可能な符号構成を提示しており、この下界から $2\log n + 9 + 2\log e$ ビット以内の冗長性を達成している。

ABSTRACT

This paper studies the problem of constructing codes correcting deletions in arrays. Under this model, it is assumed that an $n imes n$ array can experience deletions of rows and columns. These deletion errors are referred to as $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletions if $t_\mathrm{r}$ rows and $t_\mathrm{c}$ columns are deleted, while a code correcting these deletion patterns is called a $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletion correcting code. The definitions for criss-cross insertions are similar. Similar to the one-dimensional case, it is first shown that the problems of correcting criss-cross deletions and criss-cross insertions are equivalent. Then, we mostly investigate the case of $(1,1)$-criss-cross deletions. An asymptotic upper bound on the cardinality of $(1,1)$-criss-cross deletion correcting codes is shown which assures that the asymptotic redundancy is at least $2n-2+2\log n$ bits. Finally, a code construction with an explicit decoding algorithm is presented. The redundancy of the construction is away from the lower bound by at most $2 \log n+9+2\log e$ bits.

研究の動機と目的

• 全行および全列が失われる可能性がある2次元配列における削除訂正問題に対処すること。
• 特に $(1,1)$-ケースについて、$(t_r, t_c)$-クロスカット削除訂正が可能な符号のサイズに対する理論的限界を確立すること。
• $(1,1)$-クロスカット削除訂正に適した明示的な符号構成と効率的な復号法を開発すること。
• 提案された符号の冗長性を分析し、理論的下界と比較すること。

提案手法

• 配列モデルにおけるクロスカット削除訂正問題とクロスカット挿入訂正問題の等価性を証明する。
• 組合せ論的および情報理論的議論を用いて、$(1,1)$-クロスカット削除訂正符号の基数に対する漸近的上界を導出する。
• 1行および1列の損失を検出・訂正できるように設計されたパリティーチェック制約に基づく符号を構成する。
• 冗長性記号を用いて削除された行および列の位置を特定する明示的な復号アルゴリズムを設計する。
• 構成の冗長性を分析し、理論的下界から $2\log n + 9 + 2\log e$ ビット以内であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \times n$ 配列における $(1,1)$-クロスカット削除訂正に必要な最小冗長性は何か？
• RQ2 2次元配列モデルにおいて、クロスカット削除訂正と挿入訂正の問題はどのように関係しているか？
• RQ3 $(1,1)$-クロスカット削除訂正に適した明示的な符号構成と効率的な復号法を設計できるか？
• RQ4 このような符号の冗長性は理論的下界にどの程度近いか？

主な発見

• $(1,1)$-クロスカット削除訂正符号の漸近的冗長性は、$2n - 2 + 2\log n$ ビットで下界づけられる。
• 提案された符号構成は、この下界から $2\log n + 9 + 2\log e$ ビット以内の冗長性を達成している。
• 削除された行および列を正しく特定・回復できる明示的な復号アルゴリズムが提供されている。
• クロスカット削除訂正と挿入訂正の問題が、配列モデルにおいて等価であることが示された。
• 符号構成は、冗長性において小さな加法的項を除き、漸近的に最適であることが示された。