[論文レビュー] Criteria for dynamics of one-dimensional continuous time Markov chains with applications

Chuang Xu, Mads Christian Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2020

Gene Regulatory Network Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非負整数上で無限大のジャンプサイズと多項式遷移率を有する連続時間マーカフチェインにおける、爆発性、再帰性、エルゴード性といった主要な力学的性質の計算可能な閾値基準を確立する。定常分布および準定常分布の指数的エルゴード性の明示的条件を提示し、出生・死滅過程を超える確率的反応ネットワークや遺伝子発現モデルへの応用を含む。

ABSTRACT

This paper studies the dynamics of continuous time Markov chains with possibly unbounded jump sizes on the non-negative integers with polynomial transition rate functions. Such stochastic processes are abundant in applications, in particular in biology. We provide threshold criteria in terms of easily computable parameters for various dynamical properties such as explosivity, recurrence, transience, certain absorption, positive/null recurrence, implosivity, and existence and non-existence of moments of hitting times. In particular, simple sufficient conditions for exponential ergodicity of stationary distributions and quasi-stationary distributions are obtained, and the few gap cases are identified and well-illustrated by examples. Subtle differences in conditions for different dynamical properties are revealed in terms of examples. Finally, we apply our results to stochastic reaction networks, an extended class of branching processes, a general bursty single-cell stochastic gene expression model, and population processes, none of which are birth-death processes.

研究の動機と目的

• 多項式遷移率と無限大ジャンプを有する連続時間マーカフチェインにおける、基本的力学的挙動の容易に計算可能な基準を開発すること。
• 出生・死滅過程でない系において、爆発性、再帰性、準定常性といった性質に対する一般基準の欠如に対処すること。
• 複雑な確率的系における定常分布および準定常分布の指数的エルゴード性の条件を同定すること。
• 明示的な例を通じて、力学的性質の微妙な差異を理解する理論的ギャップを埋めること。
• システム生物学分野の実世界モデル、特に遺伝子発現および集団過程へのフレームワークの応用。

提案手法

• 遷移率関数の次数と係数に基づく閾値条件を導出し、力学的挙動を分類する。
• ハミルトニアン型汎関数とモーメント生成関数技術を用いて、到達時間モーメントおよびエルゴード性を分析する。
• スペクトル的およびパスワイズ解析を適用し、正の再帰性と零再帰性、および内爆性を区別する。
• 標準基準が失敗する「ギャップケース」の体系的分類を提示し、反例を用いて境界を明確化する。
• 比較およびカップリングの議論を用いて、非線形かつ出生・死滅型でない系へ結果を拡張する。
• 確率的反応ネットワークおよびバースト的遺伝子発現モデルからの明示的例を用いて理論的知見を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式遷移率にどのような条件を課すと、無限大ジャンプを有する連続時間マーカフチェインにおける定常分布および準定常分布の指数的エルゴード性が保証されるか？
• RQ2 このようなチェインにおいて、計算可能なパラメータを用いて爆発的・一時的・再帰的挙動をどのように区別できるか？
• RQ3 これらの過程における到達時間のモーメントの存在・非存在の明確な閾値は何か？
• RQ4 再帰性や内爆性といった異なる力学的性質のための条件は、どのように異なり、それらの差異はどのように図示されるか？
• RQ5 導出された基準は、拡張された分岐過程およびバースト的単細胞遺伝子発現モデルにどのように適用されるか？

主な発見

• 遷移率多項式の次数と成長率に基づき、定常分布および準定常分布の指数的エルゴード性の単純な十分条件が導出された。
• 爆発性、再帰性、一時的挙動の閾値基準は、多項式率の主要項の係数と次数に基づいて定式化された。
• 到達時間モーメントの存在条件が特徴づけられ、多項式の次数および主要項の符号に明示的な依存関係が示された。
• 本稿では、標準基準が失敗する「ギャップケース」を同定し、力学的挙動の微妙な差異を明確にする反例を提示した。
• 本フレームワークは、出生・死滅型でないモデルへも成功裏に拡張可能であり、従来の手法では適用不可能な確率的反応ネットワークやバースト的遺伝子発現過程に適用可能であった。
• 正再帰性／零再帰性および内爆性が、別個のパrameter領域に依存しており、導出された条件において明確な解析的分離がなされた。