[論文レビュー] Criteria of positivity for linear maps constructed from permutation pairs

Haili Zhao, Jinchuan Hou|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$M_n$ 上の $D$-型線形写像を、ペアの置換から構成するための新しい正定性基準を確立する。置換ペアに「性質 (C)」を導入し、そのペアがこの性質を満たすならば、関連する写像が正定性を示すことを証明する。主な結果として、置換が単一の巡回置換のべきである場合の正定性に関する簡単で検証可能な条件を提供し、量子情報理論における新しい正定写像の構成を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we show that a $D$-type map $Φ_D:M_n ightarrow M_n$ with $D=(n-2)I_n+P_{π_1}+P_{π_2}$ induced by a pair $\{π_1,π_2\}$ of permutations of $(1,2,..., n)$ is positive if $\{π_1,π_2\}$ has property (C). The property (C) is characterized for $\{π_1,π_2\}$, and an easy criterion is given for the case that $π_1=π^p$ and $π_2=π^q$, where $π$ is the permutation defined by $π(i)=i+1$ mod $n$ and $1\leq p

研究の動機と目的

• $M_n$ 内の置換ペアから構成される $D$-型線形写像の正定性に関する基準を構築すること。
• 関連する $D$-型写像の正定性を保証する新しい性質「性質 (C)」を定義し、その特徴づけを行うこと。
• 置換が単一の巡回置換 $\pi(i) = i+1 \mod n$ のべきである場合に、正定性に関する実用的な基準を提供すること。
• 1つの置換から得られる $D$-型写像の正定性に関する既知の結果を、2つ以上の置換から構成される写像へと拡張すること。
• 量子情報理論への貢献として、もつれ検出やもつれ証明の設計に役立つ新しい正定写像を構築すること。

提案手法

• 置換ペア $\{\pi_1, \pi_2\}$ に対して、関連する $D$-型写像が正定性を示すために必要十分である新しい組合せ的性質「性質 (C)」を導入する。
• 正定性条件を分析するために、積制約下での対称有理関数を含む2つの主要な不等式（補題 2.1 と 2.2）を構築する。
• 置換の巡回分解を用いて、関連する置換行列 $P_{\pi_1}, P_{\pi_2}$ の構造と、$D$-行列における対角補正への作用を分析する。
• $\{\pi_1, \pi_2\}$ が性質 (C) を満たすならば、$D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$ を持つ $D$-型写像 $\Phi_D$ が正定性を示すことを証明する。
• 周期的置換 $\pi$ に対して $\pi_1 = \pi^p$, $\pi_2 = \pi^q$ となる場合にこの基準を適用し、正定性の明示的な数論的条件 $p, q, n$ を導出する。
• 標準単体上での有理関数 $f(x_1,\dots,x_n)$ の上界を用いて正定性をテストし、問題を $\sup f \leq 1$ を満たすか否かの確認に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換ペア $\{\pi_1, \pi_2\}$ がどのような条件下で、$D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$ を持つ $D$-型写像 $\Phi_D$ が正定性を示すか？
• RQ2 単一の巡回置換 $\pi^p$ と $\pi^q$ のペアが正定性を示す $D$-型写像を生成するための必要十分条件は何か？
• RQ3 置換ペアから構成される $D$-型写像の正定性は、組合せ的または数論的基準によって決定可能か？
• RQ4 性質 (C) は、このような写像の正定性の必要条件か？それとも、性質 (C) を満たさない正定写像は存在するか？
• RQ5 次元 $n = 2^N$ に対して、結果を特殊化できるか？これは量子情報理論において特に重要な次元である。

主な発見

• 置換ペア $\{\pi_1, \pi_2\}$ が性質 (C) を満たすことは、$D = (n-2)I_n + P_{\pi_1} + P_{\pi_2}$ を持つ関連 $D$-型写像 $\Phi_D$ が正定性を示すための必要十分条件である。
• 周期的シフト $\pi(i) = i+1 \mod n$ に対して、$D$-型写像 $\Phi_{n,p,q}$ は $\{\pi^p, \pi^q\}$ が性質 (C) を満たす場合に正定性を示す。これは $q-p$ が奇数であるか、$p$ と $q-p$ が特定の整除条件を満たす場合に成立する。
• $n = 2^N$ で $N \geq 2$ の場合、$\Phi_{n,p,q}$ は $q-p$ が奇数であるか、$q-p = 2^b$ で $p = d2^b$（$1 \leq d \leq 2^{N-b}-1$）であるか、より一般に $q-p = 2^b r$（$r$ は奇数）で $p = 2^b(2^{N-b} - d r)$（$1 \leq d \leq (2^{N-b}-1)/r$）である場合に正定性を示す。
• 標準単体上での関数 $f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{2x_i + x_{i+1} + x_{i-1}}$ の上界は $n=4$ のときちょうど 1 に等しく、これは $\{\pi, \pi^3\}$ が性質 (C) を満たさないにもかかわらず $\Phi_{4,1,3}$ が正定性を示すことを確認する。
• 性質 (C) は正定性の十分条件ではあるが、必要条件ではない。これは $n=4$, $p=1$, $q=3$ の反例によって示され、この場合、ペアが性質 (C) を満たさないにもかかわらず写像は正定性を示す。
• 本稿では $n=5,7,8,16$ の明示的例を提示し、どのペア $(p,q)$ が正定写像を与えるかを示しており、量子情報応用におけるこのような写像の構築に実用的なガイドラインを提供する。