[論文レビュー] Criterion for the $L^{p}$-dissipativity of second order differential operators with complex coefficients

Alberto Cialdea, Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Dec 11, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素係数をもつ2階楕円型微分作用素の $L^p$-発散性について、必要十分な代数的条件を確立する。主な結果は、係数行列 $ abla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla)$ の虚部 $ abla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla)$ が対称であるとき、すべての $ abla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla) \in \mathbb{R}^n$ に対して $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ が成り立つことが、$L^p$-発散性を特徴づけることである。虚部が対称でない場合でさえ、下位項が存在する場合でも、同じ条件は $L^p$-準発散性（および関連する半群の準合同性）を特徴づける。

ABSTRACT

We prove that the algebraic condition $|p-2| |< {\mathscr Im}{\mathscr A}ξ,ξ>| \leq 2 \sqrt{p-1} < {\mathscr Re}{\mathscr A}ξ,ξ>$ (for any $ξ\in\mathbb{R}^{n}$) is necessary and sufficient for the $L^{p}$-dissipativity of the Dirichlet problem for the differential operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)$, where ${\mathscr A}$ is a matrix whose entries are complex measures and whose imaginary part is symmetric. This result is new even for smooth coefficients, when it implies a criterion for the $L^{p}$-contractivity of the corresponding semigroup. We consider also the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$, where the coefficients are smooth and ${\mathscr Im}{\mathscr A}$ may be not symmetric. We show that the previous algebraic condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-dissipativity of this operator. The same condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-contractivity of the corresponding semigroup. We give a necessary and sufficient condition for the $L^{p}$-dissipativity in $\mathbb{R}^{n}$ of the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$ with constant coefficients.

研究の動機と目的

• 複素係数をもつ2階微分作用素のディリクレ問題の $L^p$-発散性について、必要十分な代数的条件を確立すること。
• 虚部が対称でない場合を含め、下位項を含む作用素へ基準を拡張すること。
• 滑らかな係数の一般の場合における関連半群の $L^p$-準発散性および準合同性を特徴づけること。
• $\mathbb{R}^n$ 上の定数係数作用素について、完全な特徴づけを提供すること。

提案手法

• 作用素に関連する二次形式 $\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(u,v) = \int_\Omega \langle\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla u, \nabla v\rangle\,dx$ の分析を通じて $L^p$-発散性条件を導出する。
• スペクトル的および変分的技法を用い、係数行列の実部の coercivity と虚部の有界性との関係を作用素の発散性に関連付ける。
• $C_0$-半群および双対性の理論を用い、作用素とその随伴作用素の $L^p$-発散性が、収縮または準収縮半群の生成とどのように関連するかを結びつける。
• 虚部が対称でない場合に対処するため、作用素を実定数でシフトすることにより $L^p$-準発散性の概念を導入する。
• 下位項を含む一般の場合を、$ abla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla)$ の対称部に帰着させることで、主基準を適用可能にする。
• $L^p$ 空間における密度および閉包の議論を通じて、形式の $L^p$-発散性と作用素の $L^p$-発散性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ にどのような代数的条件が課されると、複素係数をもつ2階楕円型作用素のディリクレ問題の $L^p$-発散性が保証されるか？
• RQ2 係数行列 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ の虚部が対称でない場合、条件はどのように変化し、どのような代替的発散性概念が適用可能か？
• RQ3 基準は下位項を含む作用素へ拡張可能か？ また、関連する半群が $L^p$-準合同的であるための条件は何か？
• RQ4 このような作用素によって生成される半群が $L^p$-準合同的であるための $p$ の正確な範囲は何か？
• RQ5 定数係数作用素について、$\mathbb{R}^n$ 上で $L^p$-発散性がどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 係数行列 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ の虚部 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ が対称であるとき、すべての $\xi \in \mathbb{R}^n$ に対して $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ が成り立つことは、ディリクレ問題の $L^p$-発散性の必要十分条件である。
• 係数行列 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ の虚部が対称でない場合、同じ代数的条件は、作用素 $\nabla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla) + \mathbf{b}\nabla + a$ の $L^p$-準発散性の必要十分条件である。
• 同じ条件により、作用素によって生成される半群の $L^p$-準合同性が保証され、ある $\omega > 0$ に対して $A - \omega I$ によって生成される半群が収縮的であることが示される。
• 定数係数作用素について、$\mathbb{R}^n$ 上では、この条件が $L^p$-発散性の必要十分基準を提供する。
• $p$ の範囲が、$\frac{\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle}{|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle|}$ の下界に依存し、$p$ に対する明示的な上限が得られる。
• 滑らかな係数に対しても、本結果は新規であり、関連半群の $L^p$-合同性の完全な代数的特徴づけを提供する。