[論文レビュー] Critical configurations for three projective views

Martin Bråtelund|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2021

Medical Imaging Techniques and ApplicationsMedicine被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、カメラ中心の吹き上げを用いて多視点多様体の交線を分析することにより、3視点構造から運動の臨界的配置を分類する新しい代数的アプローチを提示する。臨界的配置が8点以上の場合、点が特定の曲線または曲面（ねじれ三次曲線、有理的四次曲線、または円錐曲線と直線の和集合など）の厳密変換上にあるときに限り発生することが証明される。一方、7点配置では、3つの放物面とそれらの許容可能な直線を含む正確な適合条件が成立する場合に限り臨界的である。

ABSTRACT

The problem of structure from motion is concerned with recovering the 3-dimensional structure of an object from a set of 2-dimensional images taken by unknown cameras. Generally, all information can be uniquely recovered if enough images and point correspondences are provided, yet there are certain cases where unique recovery is impossible; these are called critical configurations. We use an algebraic approach to study the critical configurations for three projective cameras. We show that all critical configurations lie on the intersection of quadric surfaces, and classify exactly which intersections constitute a critical configuration.

研究の動機と目的

• 3次元射影カメラの臨界的配置を完全に分類すること。
• 文献でこれまで見過ごされていた、2つのカメラ中心を結ぶ直線が接線であるねじれ三次曲線が臨界的である場合を解消すること。
• 多視点多様体と吹き上げを用いて、恣意的な例を超えた一般の臨界的配置の基準を確立すること。
• 臨界的配置付近における構造から運動アルゴリズムの不安定性の理論的理解を拡張すること。
• 将来的なより複雑なカメラ配置への応用が可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• カメラ中心におけるP³の吹き上げを用いて、カメラ射影の不定性を解消し、準同型写像を構成する。
• 写像ϕP: P³ ⇢ (P²)ⁿを定義し、BlP(P³)上の準同型写像に拡張する。この写像により、配置が多視点多様体へ写される。
• 臨界的配置を、2つの異なるカメラ-点配置が、拡張された準同型写像を通じて(P²)ⁿの同じ点へ写されるような配置として特徴付ける。
• 特に3つの放物面の交線を研究することで、多視点多様体の交線を用いて臨界的配置を分類する。
• 線束や除数類（例：2H − Ei − Ej）の使用を含む代数幾何学的手法を用い、放物面を制約する。
• 3つの放物面とそれらに関連する許容可能な直線の適合条件を用いて、7点配置の臨界性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間内の3台の射影カメラと点の配置で、一意的な3次元構造の復元が不可能となる、すなわち臨界的であるものはどのようなものか？
• RQ2 多視点多様体の交線は、臨界的配置の存在とどのように関係するか？
• RQ3 3台のカメラと7点の配置が臨界的であるための正確な条件は何か？
• RQ4 ねじれ三次曲線が1つのカメラ中心を通り、残り2つのカメラ中心を結ぶ直線が接線であるという、これまで見過ごされていたケースが臨界的であることを示せるか？
• RQ5 退化した配置（例えば、円錐曲線と直線の和集合など）は、臨界的配置にどのように寄与するか？

主な発見

• 3台の射影カメラにおけるすべての臨界的配置は、3つの放物面の交線である曲線または曲面の厳密変換上にある。
• 1つのカメラ中心を通り、残り2つのカメラ中心を結ぶ直線がねじれ三次曲線の接線である場合、ねじれ三次曲線上の点配置は臨界的である（文献における誤りを是正）。
• 8点以上の場合、配置が臨界的であるための必要十分条件は、点が図1に示されたような多様体（例：有理的四次曲線、ねじれ三次曲線、または円錐曲線と直線の和集合）の厳密変換上にあること、またはそのような多様体の部分集合を形成することである。
• 6点以下の場合、すべての配置が臨界的であるが、最大でない。なぜなら、7点以上のより大きな臨界的配置に含まれるからである。
• 7点配置が臨界的であるための必要十分条件は、カメラ中心と点を含む適合する3つの放物面が存在し、それらの許容可能な直線が張る3つの平面が、7点のいずれとも交差しないことである。
• 3つの放物面の適合性とそれらの関連する平面の交線に関する幾何的条件が、7点配置の臨界性を完全に決定する。これは命題6.19で形式化されている。