[論文レビュー] Critical $L$-values for some quadratic twists of Gross curves

Andrzej Dąbrowski, Tomasz Jędrzejak+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Historical Studies and Socio-cultural Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、q ≡ 3 mod 4 が素数である虚二次体 K = Q(√−q) のヒルベルト類体 H におけるグロス曲線の二次拡大 E の臨界 L-値 L(E/H, 1) を計算する。Magma とデューリングのグロッセンケラーティリの理論を用いて、q ≡ 7 mod 8 かつ q ≤ 4663 のすべての q に対して L(E/H, 1) ≠ 0 を数値的に検証し、テート＝シャファレヴィチ群 X(E/H) の解析的位数に関する予想される公式を提示する。この公式は、バーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想と整合しており、q = 7 の既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $K=\Bbb Q(\sqrt{-q})$, where $q$ is a prime congruent to $3$ modulo $4$. Let $A=A(q)$ denote the Gross curve. Let $E=A^{(-\beta)}$ denote its quadratic twist, with $\beta=\sqrt{-q}$. The curve $E$ is defined over the Hilbert class field $H$ of $K$. We use Magma to calculate the values $L(E/H,1)$ for all such $q$'s up to some reasonable ranges (different for $q\equiv 7 \, ext{mod} \, 8$ and $q\equiv 3 \, ext{mod} \, 8$). All these values are non-zero, and using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we can calculate hypothetical orders of $\sza(E/H)$ in these cases. Our calculations extend those given by J. Choi and J. Coates [{\it Iwasawa theory of quadratic twists of $X_0(49)$}, Acta Mathematica Sinica(English Series) {\bf 34} (2017), 19-28] for the case $q=7$.

研究の動機と目的

• K = Q(√−q) のヒルベルト類体 H における、q ≡ 3 mod 4 が素数であるグロス曲線の二次拡大 E の臨界 L-値 L(E/H, 1) を計算すること。
• q ≡ 7 mod 8 かつ q ≤ 4663 のすべての q に対して、L(E/H, 1) ≠ 0 が数値的に確認され、L-関数の非消滅を支持すること。
• バーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想に基づいて、X(E/H) の解析的位数に関する予想される公式を導出し、数値的に検証すること。
• q = 7 の既存の結果を、q ≡ 7 mod 8 のより広い範囲の素数に拡張し、高度なアルゴリズム的手法を用いること。
• q ≡ 3 mod 8 の場合に、Galois 共役に関して L-値とタマガワ数の振る舞いを調査し、共役曲線間で一貫性があることを確認すること。

提案手法

• L-級数のグロッセンケラーティリの積への分解を活用し、Magma を用いて L(E/H, 1) を数値的に計算する。
• CM 楕円曲線とグロッセンケラーティリの関係を示すデューリングの理論を適用し、E/H の L-関数を L(ρχ, 1) 及びその複素共役の積として表現する。
• マーク・ウォーキンズによる修正済みアルゴリズムを用いて、ヘッケ＝デューリング理論とねじれ効果に基づき、臨界 L-値を効率的に計算する。
• E が H(√−β)/H を介したグロス曲線 A の二次拡大であること（β = √−q）を用い、OK の素点 p 上での還元性を追跡する。
• L(E/H, 1) = ∏_{χ} L(ρχ, 1) · L(ρχ, 1)̄ の公式を実装する。ここで ρ は K 上の導手 p² であるグロッセンケラーティリである。
• イwasawa理論を適用し、L(E/H, 1) の非消滅から X(E/H) の有限性を導出し、周期とタマガワ因子を含む予想される公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q ≡ 7 mod 8 かつ q ≤ 4663 の場合、ヒルベルト類体 H 上のグロス曲線の二次拡大 E に対して、臨界 L-値 L(E/H, 1) は何か？
• RQ2 L(E/H, 1) の非消滅は、すべてのこのような q に対して成り立つか？また、これはバーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想をどのように支持するか？
• RQ3 X(E/H) の解析的位数に関する予想される公式を導出し、これらの拡大に対して数値的に検証できるか？
• RQ4 q ≡ 3 mod 8 の場合、Galois 共役に関して L-値、タマガワ数、および X(E/H) の解析的位数はどのように振る舞うか？
• RQ5 提案された #(X(E/H)) の公式は、既知の q = 7 の場合をどれほど一般化し、BSD 予想と整合するか？

主な発見

• q ≡ 7 mod 8 かつ q ≤ 4663 のすべての素数 q に対して、臨界 L-値 L(E/H, 1) は数値的に非ゼロであることが確認され、コーエーツとリーの予想する非消滅が裏付けられた。
• Conjecture 1: #(X(E/H)) = L(E/H, 1)²h+6−2r / (Ω(q)²√q) を用いて X(E/H) の解析的位数が計算され、q が大きいほど 1 から 10¹⁰⁰⁰ を超える値まで変動した。
• q = 7 の場合、予想される公式は [3] の式 (2.11) に簡略化され、先行研究と整合することが確認された。
• 計算された最大の解析的位数は q = 983 のとき 23,813,862,274,450,283,333 であり、q と共に急激に増加することが示された。
• q ≡ 3 mod 8 の場合、共役曲線が同一の L-値、捩れ部分群、およびタマガワ数を持つことが示され、X(E/H) の解析的位数が等しいことが示された。
• 公式は、各 p 以上の r 個の素点におけるタマガワ因子 4 を反映しており、予想における 2⁻²ʳ 項に現れている。