[論文レビュー] Critical mass for infinite-time aggregation in a chemotaxis model with indirect signal production

Youshan Tao, Michael Winkler|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では2次元空間における間接的シグナル生成を伴うキモタクシスモデルを研究し、遅延したシグナル反応のおかげで解が有限時間内に一様に有界のまま保たれることを証明するが、初期細胞質量が臨界閾値を超えると無限時間 blow-up が発生することを示している。特にδ > 0の場合、初期質量∫u₀ > 8πδ であれば、t → ∞ においてL∞ノルムでの blow-up が発生する。

ABSTRACT

We study the Neumann initial-boundary problem for the chemotaxis system $$ \left\{\begin{array}{ll} u_t= Δu - abla \cdot (u abla v), & x\in Ω, \, t>0, 0=Δv - μ(t)+w, & x\in Ω, \, t>0, τw_t + δw = u, & x\in Ω, \, t>0, \end{array} ight. \qquad \qquad (\star) $$ in the unit disk $Ω:=B_1(0)\subset \R^2$, where $δ\ge 0$ and $τ>0$ are given parameters and $μ(t):=\mint_Ωw(x,t)dx$, $t>0$. It is shown that this problem exhibits a novel type of critical mass phenomenon with regard to the formation of singularities, which drastically differs from the well-known threshold property of the classical Keller-Segel system, as obtained upon formally taking $τ o 0$, in that it refers to blow-up in infinite time rather than in finite time: Specifically, it is first proved that for any sufficiently regular nonnegative initial data $u_0$ and $w_0$, ($\star$) possesses a unique global classical solution. In particular, this shows that in sharp contrast to classical Keller-Segel-type systems reflecting immediate signal secretion by the cells themselves, the indirect mechanism of signal production in ($\star$) entirely rules out any occurrence of blow-up in finite time. However, within the framework of radially symmetric solutions it is next proved that whenever $δ>0$ and $\io u_0<8πδ$, the solution remains uniformly bounded, whereas for any choice of $δ\ge 0$ and $m>8πδ$, one can find initial data such that $\io u_0=m$, and such that for the corresponding solution we have \bas \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} o \infty \qquad \mbox{as} t o\infty.

研究の動機と目的

• 細胞自身がシグナルを生成するのではなく、別個体群によって生成されるシグナルを伴うキモタクシス系の長期的挙動を分析すること。
• 古典的 Keller-Segel モデルとは対照的に、有限時間内に blow-up が発生するかどうかを検討すること。
• 特に対称的 blow-up が発生する場合に、特異点形成のための臨界質量閾値が存在するかどうかを特定すること。
• 解がt → ∞ において一様に有界であるか、L∞ノルムで無限大に発散するかの条件を確立すること。

提案手法

• 単位円板Ω ⊂ ℝ²における放物型-楕円型-ODE 系を定式化し、uは細胞密度、wはシグナル産生個体群、vはキモアトラクトント濃度を表す。
• ノイマン境界条件を課し、δ ≥ 0 かつ τ > 0 である ODE τwt + δw = u を用いて、シグナル生成の遅延を導入する。
• 信号場の正規化のため、μ(t) = −∫Ω w(x,t)dx を導入し、質量保存を確保するとともに、信号の無限大蓄積を防ぐ。
• 比較原理とエネルギー推定を用いて、解成分の上界および下界を導出するため、回転対称解を分析する。
• a(t) および b(t) で定義される比較関数 U̲(ξ,t) を用いて、下位解を構築し、背理法と漸近解析を用いて blow-up を証明する。
• PDE を1次元問題に還元するため、極座標変換 ξ = r² を適用し、最大値原理の応用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Keller-Segel モデルとは対照的に、間接的シグナル生成機構が有限時間 blow-up を防ぐのか？
• RQ2 解が一様に有界であるか、無限時間 blow-up を示すかを決定する臨界質量閾値が存在するのか？
• RQ3 シグナル産生個体群の死滅率δが blow-up の臨界質量閾値に与える影響は何か？
• RQ4 解がすべての時間で存在する場合でも、t → ∞ においてL∞ノルムで blow-up が発生しうるのか？

主な発見

• 任意のδ > 0 および初期質量m < 8πδ に対して、すべてのt > 0 において解はL∞(Ω)で一様に有界である。
• δ > 0 かつ m > 8πδ の場合、∫Ω u₀ = m を満たす初期データが存在し、そのとき‖u(⋅,t)‖L∞(Ω) → ∞ がt → ∞ で成り立つ。
• δ = 0 の場合、臨界閾値はm > 0 であり、正の初期質量に対して無限時間 blow-up が発生する。
• 間接的シグナルメカニズムのおかげで、有限時間 blow-up は発生しない。これはシグナルフィードバックの遅延が即時の凝集を防ぐからである。
• 臨界質量閾値8πδ は鋭い：それ未満では解は大域的に有界であり、それ以上では無限時間 blow-up が発生する。
• blow-up は、原点における細胞密度の長期間にわたる蓄積によって駆動され、m > 8πδ のときu(0,t) は指数関数的に時間とともに増加する。