[論文レビュー] Critical orbits and attracting cycles in p-adic dynamics

Robert L. Benedetto, Patrick Ingram+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

advanced mathematical theories参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、p進動学においてFatouの定理の非アルキメデス的類似を証明することにより、任意の数体上での与えられた次数の非Lattesな後期臨界的有限（PCF）有理写像が、有限個の同値類に属することを確立している。主な結果は、可換Lattes族を除き、モジュライ空間における有界高さ性質の確立である。

ABSTRACT

A rational function of degree at least two with coefficients in an algebraically closed field is post-critically finite (PCF) if all of its critical points have finite forward orbit under iteration. We show that the collection of PCF rational functions is a set of bounded height in the moduli space of rational functions over the complex numbers, once the well-understood family known as flexible Lattes maps is excluded. As a consequence, there are only finitely many conjugacy classes of non-Lattes PCF rational maps of a given degree defined over any given number field. The key ingredient of the proof is a non-archimedean version of Fatou's classical result that every attracting cycle of a rational function over the complex numbers attracts a critical point.

研究の動機と目的

• 算術的動学における後期臨界的有限（PCF）有理写像の分布および有限性の性質を理解すること。
• 与えられた数体上での固定次数のPCF写像の同値類が有限個であるかどうかを検討すること。
• 可換Lattes族を例外的族として除外し、残りのPCF写像がモジュライ空間で有界高さを持つことを示すこと。
• 吸引的周期軌道が臨界点を引きつけるというFatouの古典的結果の非アルキメデス的類似を確立すること。
• この非アルキメデス的Fatou定理を主要な技術的道具として用い、同値類の有限性を証明すること。

提案手法

• Fatouの古典的定理（吸引的周期軌道が臨界点を引きつける）を非アルキメデス的設定、特にp進動学に適応する。
• 非アルキメデス的Fatou定理を用いて、p進動学的システムにおける吸引的周期軌道の近傍での臨界点の挙動を分析する。
• 有理写像のモジュライ空間の構造を用いて、PCF写像の高さを定義し、その有界性を示す。
• 算術的動学における高さ理論を適用し、数体上での非LattesなPCF写像の高さが有界であることを示す。
• 非アルキメデス体上の力学系理論を用いて、臨界点の前向き軌道を制御する。
• 可換Lattes族を理解しやすい例外的族として除外することで、有界高さ結果が残りのPCF写像に適用可能になるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された数体上での与えられた次数の非LattesなPCF有理写像の同値類は、有限個に限られるか？
• RQ2 吸引的周期軌道が臨界点を引きつけるというFatouの定理の非アルキメデス的類似は確立可能か？
• RQ3 非LattesなPCF有理写像の集合は、有理写像のモジュライ空間で有界高さを持つか？
• RQ4 Lattes写像の除外が、PCF写像の有限性および高さ性質に与える影響は何か？
• RQ5 p進動学は、PCF有理写像のグローバル算術的構造を理解する上で、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 固定された次数の非Lattesな後期臨界的有限有理写像の集合は、複素数体上のモジュライ空間で有界高さを持つ。
• 非アルキメデス的Fatou定理の類似が証明され、p進動学において、すべての吸引的周期軌道が臨界点を引きつけることが示された。
• その結果、任意の固定された数体上での与えられた次数の非LattesなPCF有理写像の同値類は、有限個に限られる。
• Lattes写像は、有界高さ性質の唯一の例外と特定され、有限性結果から除外された。
• 証明は、p進動学と算術的幾何学、特にモジュライ空間における高さ理論の相乗作用に依存している。
• この結果は、やや弱い算術的条件下で非LattesなPCF写像の有限性予想を裏付けた。