[論文レビュー] Critical Points and Gr\"obner Bases: the Unmixed Case

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、代数的多様体上に制限された多項式写像の臨界点を定義する系に対するグレブナー基底の計算の複雑性解析を初めて行った。一般性の仮定の下で、複雑性は臨界点の数に多項式的に依存し、その数は D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} である。明示的な境界により、n に対して多項式的で、p に対して指数的であることが示され、特に二次の場合（D=2）に成り立つ。

ABSTRACT

We consider the problem of computing critical points of the restriction of a polynomial map to an algebraic variety. This is of first importance since the global minimum of such a map is reached at a critical point. Thus, these points appear naturally in non-convex polynomial optimization which occurs in a wide range of scientific applications (control theory, chemistry, economics,...). Critical points also play a central role in recent algorithms ofeffectiverealalgebraicgeometry. Experimentally, it has been observed that Gröbner basis algorithms are efficient to compute such points. Therefore, recent software based on the so-called Critical Point Method are built on Gröbner bases engines. Let f1,...,fp be polynomials in Q[x1,...,xn] of degree D, V ⊂ C n be their complex variety and π1 be the projection map (x1,...,xn) ↦ → x1. Thecriticalpointsoftherestrictionofπ1to V are defined by the vanishing of f1,...,fp and some maximal minors of the Jacobian matrix associated to f1,...,fp. Suchasystemisalgebraicallystructured:theidealitgenerates is the sum of a determinantal ideal and the ideal generated by f1,...,fp. We provide the first complexity estimates on the computation of Gröbner bases of such systems defining critical points. We prove that under genericity assumptions on f1,...,fp, thecomplexityis polynomial in the generic number of critical points, i.e. D p (D − 1) n−p () n−1.Moreparticularly,inthe p−1 quadratic case D =2,thecomplexityofsuchaGröbnerbasiscomputationispolynomial in the number of variables n and exponential in p. We also give experimental evidence supporting these theoretical results.

研究の動機と目的

• 代数的多様体上に制限された多項式写像の臨界点を定義する系に対するグレブナー基底アルゴリズムの計算複雑性を分析すること。
• 非凸多項式最適化における臨界点を計算するための理論的複雑性境界を確立すること。これは科学計算分野の重要な問題である。
• Critical Point Methodに基づくソフトウェアにおけるグレブナー基底法の経験的効率性を裏付けるために、形式的な複雑性推定を提供すること。
• 臨界点方程式によって生成されるイデアルの構造を研究し、それが行列式イデアルと多様体のイデアルの和であることを示すこと。
• 特に二次の場合（D=2）に、一般臨界点数に多項式的に依存する複雑性推定を提供すること。

提案手法

• 臨界点を、多項式 f1,…,fp の消滅とそのヤコビ行列の最大小行列式の消滅を組み合わせた系の解としてモデル化する。
• 臨界点の定義イデアルを、イデアル 〈f1,…,fp〉 とヤコビ行列の小行列式から来る行列式イデアルの和として特徴付ける。
• 一般性の仮定の下で、この組み合わせたイデアルの構造を代数幾何学的手法を用いて分析する。
• グレブナー基底理論を用いて、この構造的系を解くための計算複雑性を推定する。
• 一般条件のもとで、臨界点の数、特に D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} を用いた複雑性境界を導出する。
• 合成的およびベンチマーク用多項式系における実験結果を用いて理論的知見を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的多様体上に制限された多項式写像の臨界点を定義する系に対するグレブナー基底の計算複雑性は何か？
• RQ2 変数の数 n と多項式の数 p に対して、特に二次の場合（D=2）に複雑性はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 臨界点イデアルの代数的構造—すなわち、行列式イデアルと多様体イデアルの和—を活用することで、よりタイトな複雑性境界を導出できるか？
• RQ4 どのような一般性の仮定のもとで、複雑性が臨界点数に多項式的に依存するか？
• RQ5 理論的複雑性推定は、臨界点系に対するグレブナー基底計算の経験的性能とどの程度一致するか？

主な発見

• 臨界点系に対するグレブナー基底の計算複雑性は、一般臨界点数 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} に多項式的に依存する。
• 二次の場合（D=2）には、変数数 n に対して多項式的で、p に対して指数的であることが示され、観測された計算行動と一致する。
• 臨界点を定義するイデアルは、多様体イデアル 〈f1,…,fp〉 とヤコビ行列の小行列式から来る行列式イデアルの和である。
• ベンチマーク系における実験的証拠により、理論的複雑性境界が支持され、漸近的推定が妥当であることが検証された。
• 本研究の結果は、Critical Point Methodに基づくソフトウェアにおけるグレブナー基底エンジンの効率性の形式的基盤を提供する。
• 本分析により、非凸最適化設定においても、一般性のもとで臨界点のグレブナー基底計算が取り扱えることが示された。