[論文レビュー] Critical points of Potts and O($N$) models from eigenvalue identities in periodic Temperley-Lieb algebras

Jesper Lykke Jacobsen|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、PottsおよびO(N)模型の臨界温度を決定するためのグラフ多項式法を再定式化し、周期的Temperley-Lieb代数における固有値問題として再構成することで、収束速度を向上させ、計算効率を向上させた。まずm→∞の極限をとることで、円周nの半無限筒を形成し、2つの位相同士の転送行列のセクターにおける最大固有値を等置することで、極めて高い精度の臨界閾値が得られる——例えば、kagome格子の結合確率percolationではp_c = 0.524404999167439(4)、正方格子のサイトpercolationではp_c = 0.59274605079210(2)——かつ、可解な場合においても正確さを保つ。

ABSTRACT

In previous work with Scullard, we defined a graph polynomial P_B(q,T) that gives access to the critical temperature T_c of the q-state Potts model on a general two-dimensional lattice L. It depends on a basis B, containing n x m unit cells of L, and the relevant root of P_B(q,T) was observed to converge quickly to T_c in the limit n,m to infinity. Moreover, in exactly solvable cases there is no finite-size dependence at all. We reformulate this method as an eigenvalue problem within the periodic Temperley-Lieb algebra. This corresponds to taking m to infinity first, so the bases B are semi-infinite cylinders of circumference n. The limit implies faster convergence in n, while maintaining the n-independence in exactly solvable cases. In this setup, T_c(n) is determined by equating the largest eigenvalues of two topologically distinct sectors of the transfer matrix. Crucially, these two sectors determine the same critical exponent in the continuum limit, and the observed fast convergence is thus corroborated by results of conformal field theory. We obtain similar results for the dense and dilute phases of the O(N) loop model, using now a transfer matrix within the dilute periodic Temperley-Lieb algebra. The eigenvalue formulation allows us to double the size n for which T_c(n) can be obtained, using the same computational effort. We study in details three significant cases: (i) bond percolation on the kagome lattice, up to n = 14; (ii) site percolation on the square lattice, to n = 21; and (iii) self-avoiding polygons on the square lattice, to n = 19. Convergence properties of T_c(n) and extrapolation schemes are studied in details for the first two cases. This leads to rather accurate values for the percolation thresholds: p_c = 0.524404999167439(4) for bond percolation on the kagome lattice, and p_c = 0.59274605079210(2) for site percolation on the square lattice.

研究の動機と目的

• 統計的格子模型における臨界温度を決定するためのグラフ多項式法の効率と理論的基盤を向上させること。
• この手法を周期的Temperley-Lieb代数における固有値問題として再定式化し、円周nの半無限筒上で解析的および数値的計算を可能とすること。
• 正確に解ける場合にnに依存しない性質を保つ一方で、非可解な場合に収束を加速できることを示すこと。
• 密度相および希薄相の両方におけるO(N)ループ模型にこの手法を拡張すること、自己回避多角形を含む。
• 固有値アプローチから得られる有限サイズのデータを用いて、臨界パラメータの高精度の外挿スキームを開発すること。

提案手法

• 周期的Temperley-Lieb代数における転送行列の2つの異なる位相同子セクターの最大固有値が等しいという条件を、臨界温度の条件として定式化する。
• まずm→∞の極限をとり、有限なn×m基底を円周nの半無限筒に変換することで、固有値問題を単純化する。
• 周期的Temperley-Lieb代数における転送行列形式を用いて、より大きなnに対して固有値を数値的に計算し、従来の手法と比較してシステムサイズを2倍に拡大する。
• PottsおよびO(N)模型の両方に対して、固有値等価基準を適用し、結合percolation、サイトpercolation、自己回避多角形を含む。
• コンformal field theoryの知見を活用し、2つのセクターが連続極限で同じ臨界指数をもたらすため、収束の高速化が理論的に正当化される。
• T_c(n)データに対して高度な外挿技術を適用し、臨界閾値を15桁の精度で得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ多項式法による臨界温度の決定は、周期的Temperley-Lieb代数における固有値問題として再定式化可能か？
• RQ2 この固有値定式化により、T_c(n)が真の臨界温度T_cに速やかに収束するか？
• RQ3 正確に解ける模型において、この手法はnに依存しない性質を保つことができ、正確な可解性の検出に適しているか？
• RQ4 この手法は、密度相および希薄相の両方におけるO(N)ループ模型に拡張可能か？
• RQ5 有限サイズの固有値データに外挿スキームを適用することで、高精度の臨界閾値を抽出できるか？

主な発見

• 固有値定式化により、元のグラフ多項式法と比較して、利用可能なシステムサイズnが2倍に拡大され、正方格子上のサイトpercolationではn_max = 21まで計算可能となった。
• kagome格子上の結合percolationに対しては、臨界閾値p_c = 0.524404999167439(4)が得られ、高精度のベンチマークと一致した。
• 正方格子上のサイトpercolationに対しては、p_c = 0.59274605079210(2)が計算され、外挿により15桁の精度に到達した。
• 正確に解ける模型（例：イジング模型）においても、この手法は正確にnに依存しない性質を保ち、既知の正確解と整合していることを確認した。
• 位相同子の異なる2つのセクター間の固有値等価性は、コンformal field theoryにより理論的に正当化されており、両セクターが連続極限で同じ臨界指数をもたらすからである。
• この手法はO(N)模型に成功裏に拡張され、自己回避多角形（N=0）を含むが、密度相における臨界ドメインウォールの増強因子z_c = 0.421326...が得られた。