[論文レビュー] Critical points of solutions for mean curvature equation in strictly convex and nonconvex domains

Haiyun Deng, Hairong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) 内の厳密に凸でない領域および非凸領域における平均曲率方程式の解の臨界点を調査する。滑らかで有界な厳密に凸領域では、非退化臨界点がちょうど1つ存在することを証明する。回転対称な偏心球状中空領域（$n \geq 3$）では、臨界集合は軸上に有限個の孤立点と、有限個の回転対称なジョードン曲線から構成されるが、回転対称な臨界閉曲面は存在しない。

ABSTRACT

In this paper, we mainly investigate the set of critical points associated to solutions of mean curvature equation with zero Dirichlet boundary condition in a strictly convex domain and a nonconvex domain respectively. Firstly, we deduce that mean curvature equation has exactly one nondegenerate critical point in a smooth, bounded and strictly convex domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq2)$. Secondly, we study the geometric structure about the critical set $K$ of solutions $u$ for the constant mean curvature equation in a concentric (respectively an eccentric) spherical annulus domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq3)$, and deduce that $K$ exists (respectively does not exist) a rotationally symmetric critical closed surface $S$. In fact, in an eccentric spherical annulus domain, $K$ is made up of finitely many isolated critical points ($p_1,p_2,\cdots,p_l$) on an axis and finitely many rotationally symmetric critical Jordan curves ($C_1,C_2,\cdots,C_k$) with respect to an axis.

研究の動機と目的

• 厳密に凸でない領域における平均曲率方程式の解の臨界集合を分析すること。
• 偏心球状中空領域における回転対称臨界曲面の存在と幾何的構造を特定すること。
• 既知の凸領域における臨界点に関する結果を、高次元における非凸で回転対称な領域へと拡張すること。
• 臨界集合が孤立点または閉曲線を含む条件を確立し、特定の対称臨界曲面の存在を除外すること。

提案手法

• 偏微分方程式としての平均曲率作用素 $ Lu = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1 + |\nabla u|^2}}\right) $ を用いる。
• 中空領域において $x_n$-軸周りの回転対称性を仮定することで、対称性の簡略化を適用する。
• 平面への射影における臨界集合の位相的性質に基づいた幾何的解析と背理法を用いる。
• アレサンドリーニとマグナニーニらの非凸領域における平面的臨界集合に関する既知の結果を応用し、矛盾を導出する。
• 単純連結領域や内部境界を囲む臨界集合が、有限個の孤立臨界点に関する既知の補題と矛盾することを用いる。
• 最大値原理と、対称領域における準線形楕円型方程式の解の性質を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで有界な厳密に凸領域（$\ mathbb{R}^n$, $n \geq 2$）において、ゼロディリクレ境界条件を満たす平均曲率方程式の解は、一意の非退化臨界点を持つだろうか？
• RQ2 $\ mathbb{R}^n$（$n \geq 3$）における回転対称な偏心球状中空領域において、臨界集合に回転対称な閉曲面が含まれるだろうか？
• RQ3 非凸な中空領域における定常平均曲率方程式の解の臨界集合 $K$ の幾何的構造は何か？
• RQ4 特に対称軸に関して、臨界点および曲線はどのように分布するだろうか？
• RQ5 非凸領域における臨界集合は、有限個の孤立点と有限個の回転対称ジョードン曲線からなるだろうか？

主な発見

• 滑らかで有界な厳密に凸領域（$\ mathbb{R}^n$, $n \geq 2$）において、ゼロディリクレ境界条件を満たす平均曲率方程式の解は、ちょうど1つの非退化臨界点を持つ。
• 回転対称な同心球状中空領域（$\ mathbb{R}^n$, $n \geq 3$）において、臨界集合 $K$ には回転対称な臨界閉曲面が含まれる。
• 回転対称な偏心球状中空領域（$\ mathbb{R}^n$, $n \geq 3$）において、臨界集合 $K$ には回転対称な臨界閉曲面が含まれない。
• 偏心球状中空領域では、臨界集合 $K$ は軸上に有限個の孤立臨界点と、有限個の回転対称な臨界ジョードン曲線から構成される。
• 偏心中空領域における $K$ の幾何的構造は位相的に制約を受ける：単純連結部分域や内部境界を囲むことはできず、有限個の孤立臨界点に関する性質と矛盾するため。
• 結果は、同様の対称性および構造的仮定を満たす一般の準線形楕円型方程式へと拡張可能であり、臨界集合の構造が同一のままである。