[論文レビュー] Critical Q=1 Potts Model and Temperley-Lieb Stochastic Processes

Paul A. Pearce, V. Rittenberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2001

Quantum many-body systems参考文献 2被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、臨界 Q=1 ポッツ模型とテムペリー＝ライブ代数上の確率過程の間の関係を確立し、q = exp(πi/3) における U_q[sl(2)] XXZ スピン鎖の基底状態波動関数が、非局所的レートを持つ1次元確率的界面成長モデルの定常確率分布を記述することを示している。主な結果は、これらの確率過程のスペクトルが、c=0 の conformal invariance と Jordan 行列表現を介した対数的 conformal field theory 構造を示す臨界 Q=1 ポッツ模型のそれと一致することである。

ABSTRACT

We consider the groundstate wave function and spectra of the $L$-site XXZ $U_q[s\ell(2)]$ invariant quantum spin chain with $q=\exp(πi/3)$. This chain is related to the critical Q=1 Potts model and exhibits $c=0$ conformal invariance. We show that the problem is related to Hamiltonians describing one-dimensional stochastic processes defined on a Temperley-Lieb algebra. The bra groundstate wave function is trivial and the ket groundstate wave function gives the probabilty distribution of the stationary state. The stochastic processes can be understood as interface RSOS growth models with nonlocal rates. Allowing defects which can hop on the interface one obtains stochastic models having the same stationary state and spectra (but not degeracies) as the XXZ chain.

研究の動機と目的

• 臨界 Q=1 ポッツ模型とテムペリー＝ライブ代数上に定義された確率過程との間の対応関係を確立すること。
• q = exp(πi/3) における U_q[sl(2)] XXZ 鏈の基底状態波動関数が、確率的界面成長モデルの定常状態に対応することを示すこと。
• これらの確率過程のスペクトルが、c=0 で対数的構造を有する conformal field theory と一致することを証明すること。
• 量子スピン鎖における交代符号行列（ASM）の組合せ的性質が、確率過程における測定可能な量とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• q = exp(πi/3) を用いて、テムペリー＝ライブ代数の生成子を用いて XXZ ハミルトニアンを定義し、Δ = 1/2 および Q = 1 に対応する。
• 基底状態エネルギーはゼロであり、ケット基底状態波動関数は確率過程の定常確率分布を与える。
• 確率モデルは、定常状態とスペクトルを保存する非局所的ホッピング欠陥を有する、非局所的界面 RSOS 増加モデルとして解釈される。
• 有限サイズスケーリングを用いて、定常状態における平均周囲長、面積、クラスター数を分析する。
• Van den Broeck-Schwartz 近似を用いて L=16 まで数値的にエネルギー準位を分析し、 conformal weight と中心電荷を抽出する。
• スペクトルが、c=0 の対数的 conformal field theory の特徴関数 χ_s(q) と一致することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界 Q=1 ポッツ模型の基底状態波動関数は、テムペリー＝ライブ代数上の確率過程の定常状態とどのように関係するか？
• RQ2 q = exp(πi/3) における XXZ 鏈から導かれる確率過程のスペクトルを支配する conformal field theory の性質は何か？
• RQ3 量子スピン鎖における交代符号行列（ASMs）の組合せ的性質は、確率モデルにおける測定可能な量とどのように関係するか？
• RQ4 定常状態における幾何的観測量（周囲長、面積、クラスター数）の有限サイズスケーリング挙動は何か？
• RQ5 確率ハミルトニアンのスペクトルは対数的 conformal field theory 構造を示すか？ もしそうなら、エネルギー準位補正にはどのように現れるか？

主な発見

• 確率過程の定常状態確率分布は、q = exp(πi/3) における XXZ 鏈のケット基底状態波動関数で与えられる。
• L ≤ 18 の有限サイズスケーリングにより、スケーリング指数が得られた：⟨ℓ(a)⟩ ∼ 0.249(1)L、⟨N(a)⟩ ∼ 0.065(1)L^{1+ν}（ν = 0.50(3)）、⟨C(a)⟩ ∼ 1.17(1)L^x（x = 0.667(3)）。
• L=16 における数値的エネルギー準位推定値は、c=0 の対数的 conformal field theory の conformal weight Δ_s = s(2s−1)/3 と一致した。
• 確率ハミルトニアン H のスペクトルは、中心電荷 c=0 および s = 0, 1/2, 1, ... に対応する conformal weight Δ_s = s(2s−1)/3 の conformal field theory と一致した。有限サイズ補正は LE_n/πv = Δ_s + k_n + o(1) の形で与えられた。
• q が単位根であるため、表現に Jordan 行列構造が現れ、対数的 conformal field theory の特徴的性質を示した。
• ホッピング欠陥を有する確率モデルでも、同じスペクトル（縮退は除く）が得られ、定常状態およびスペクトル構造の普遍性が確認された。