[論文レビュー] Critical sets of random smooth functions on products of spheres

Liviu I. Nicolaescu|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ガウス型確率場と球面調和関数のスペクトル解析を用いて、球面の直積上でのランダムな滑らかな関数の臨界点の期待数を計算する、チェーン＝ラシュォフ型の公式を導出する。この研究では、$S^1$ 上の三角多項式に対して、$ \nu \to \infty$ のとき、臨界点の期待数が $2\sqrt{0.6}\,\nu$ に、分散が $c\nu$（$c \approx 0.35$）に漸近的に増加することを示す。これらの結果は、球面上およびトーラス上のラプラシアンの固有関数へと拡張可能である。

ABSTRACT

We prove a Chern-Lashof type formula computing the expected number of critical points of smooth function on a smooth manifold $M$ randomly chosen from a finite dimensional subspace $V\subset C^\infty(M)$ equipped with a Gaussian probability measure. We then use this formula this formula to find the asymptotics of the expected number of critical points of a random linear combination of a large number eigenfunctions of the Laplacian on the round sphere, tori, or a products of two round spheres. In the case $M=S^1$ we show that the number of critical points of a trigonometric polynomial of degree $\leq ν$ is a random variable $Z_ν$ with expectation $E(Z_ν)\sim 2\sqrt{0.6}\,ν$ and variance $var(Z_ν)\sim cν$ as $ν o \infty$, $c\approx 0.35$.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体、特に球面の直積上でのランダムな滑らかな関数の臨界点の期待数を計算すること。
• 有限次元部分空間における滑らかな関数のランダム関数へのチェーン＝ラシュォフおよびカック＝プライスの公式の拡張。
• 球面、トーラス、および球面の直積上でのラプラシアンの固有関数の臨界点数の漸近的挙動を分析すること。
• 球面上のランダムな三角多項式の臨界点数の期待値および分散の明確な漸近的表現を導出すること。

提案手法

• 滑らかな関数の有限次元部分空間 $\boldsymbol{V} \subset C^\infty(M)$ にガウス確率測度を導入し、ランダムな滑らかな関数をモデル化する。
• 埋め込みのためのチェーン＝ラシュォフ公式を適用し、評価写像の全曲率を用いて臨界点の期待数を計算する。
• 球面調和関数のスペクトル理論と固有関数展開を用いて、$S^d$ および $S^1 \times S^{d-1}$ 上のランダムな線形結合を分析する。
• ラプラシアンの固有値に関する離散和から得られるスペクトル測度を用いた、$\mathbb{R}$ 上の定常ガウス過程の共分散構造を分析する。
• 振動積分の漸近的解析とテイラー展開を用いて、スペクトル測度および共分散行列の極限を導出する。
• 定常ガウス過程の結果を応用し、臨界点密度および分散の非退化性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな関数の有限次元部分空間 $C^\infty(M)$ にガウス測度を備えたとき、ランダムに選ばれた滑らかな関数の臨界点の期待数は何か？
• RQ2 球面およびトーラス上でのラプラシアンの固有関数のランダムな線形結合に対して、臨界点の期待数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 $S^1$ 上の次数 $\leq \nu$ のランダムな三角多項式の臨界点数の漸近的分散は何か？
• RQ4 $S^1 \times S^{d-1}$ 上の臨界点の分布は、対応するランダム場のスペクトル特性とどのように関係するか？
• RQ5 臨界集合が有限であり、期待数が適切に定義されるための条件は何か？

主な発見

• 次数 $\leq \nu$ のランダム関数が $S^1$ 上に存在するとき、$\nu \to \infty$ のとき、臨界点の期待数は $\boldsymbol{E}(Z_\nu) \sim 2\sqrt{0.6}\,\nu$ に漸近する。
• 臨界点数の分散は $\nu$ に対して線形に増加し、具体的には $\operatorname{\boldsymbol{var}}(Z_\nu) \sim c\nu$（$c \approx 0.35$）に漸近する。
• 球面またはトーラス上での固有関数のランダムな線形結合に対して、臨界点の期待数には、チェーン＝ラシュォフ型の積分から導かれる明確な漸近的公式が存在する。
• $S^1$ 上のランダム過程のスペクトル測度は、$\nu \to \infty$ のとき弱収束して $d\sigma_\infty = \frac{1}{\pi} \chi_{[0,1]} t^2 dt$ に漸近する。
• ガウス過程の極限共分散行列は非退化であり、臨界点密度および分散の明確な定義を保証する。
• 本手法により、不変積分と球面調和関数分解を通じて、評価写像の幾何と臨界点の漸近的統計の間の関係が確立される。