[論文レビュー] Critical Sobolev, Gagliardo-Nirenberg, Trudinger and Brezis-Gallouet-Wainger inequalities, best constants, and ground states on graded groups

Michael Ruzhansky, Nurgissa Yessirkegenov|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\r^n$、ヘイゼンベルク群、一般の分層リーリー群を含む階数群上において、Gagliardo-Nirenberg、Trudinger、Brezis-Gallouet-Wainger型の臨界定常不等式を確立する。これらの不等式の最良定数は変分的形で導出され、非線形部分楕円型方程式の基底状態解と関連づけられる。さらに、臨界定常Gagliardo-Nirenberg不等式を用いて、これらの群上での非線形シュレーディンガー型方程式に対する最小エネルギー解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we investigate critical Gagliardo-Nirenberg, Trudinger-type and Brezis-Gallouet-Wainger inequalities associated with the positive Rockland operators on graded groups, which includes the cases of $\mathbb R^n$, Heisenberg, and general stratified Lie groups. As an application, using the critical Gagliardo-Nirenberg inequality the existence of least energy solutions of nonlinear Schr\odinger type equations is obtained. We also express the best constant in the critical Gagliardo-Nirenberg and Trudinger inequalities in the variational form as well as in terms of the ground state solutions of the corresponding nonlinear subelliptic equations. The obtained results are already new in the setting of general stratified groups (homogeneous Carnot groups). Among new technical methods, we also extend Folland's analysis of H\older spaces from stratified groups to general homogeneous groups.

研究の動機と目的

• 階数群、特に$\r^n$、ヘイゼンベルク群、一般の分層リーマン群を含む設定において、臨界定常ソボレフ型不等式—Gagliardo-Nirenberg、Trudinger、Brezis-Gallouet-Wainger—を拡張すること。
• 臨界定常Gagliardo-NirenbergおよびTrudinger不等式における最良定数を、変分的形式および対応する非線形部分楕円型方程式の基底状態解の観点から表現すること。
• 臨界定常Gagliardo-Nirenberg不等式を用いて、非線形シュレーディンガー型方程式に対する最小エネルギー解の存在を確立すること。
• Follandのホーラー空間解析を分層群から一般の同次群へ一般化し、部分楕円型作用素の解析に新たな技術的ツールを提供すること。

提案手法

• 階数群の構造と正のロックランド作用素を用いて、臨界定数領域における鋭い不等式を導出する。
• 変分法を用いて、臨界定常Gagliardo-NirenbergおよびTrudinger不等式における最良定数を、関連エネルギー汎関数の最小化問題として表現する。
• 最良定数と非線形部分楕円型方程式の基底状態解との関係に依拠する。特に、分層群上の部分ラプラシアンを含む方程式に注目する。
• Follandのホーラー空間理論を分層リーマン群から一般の同次群へ拡張し、解の正則性の精密な推定を可能にする。
• スケーリングの議論と同次ノルムを用いて、階数群上でのソボレフ空間の臨界定埋め込み性を分析する。
• 導出された不等式を非線形シュレーディンガー型方程式に適用し、エネルギー空間における最小化を用いて、最小エネルギー解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階数群上での臨界定常Gagliardo-NirenbergおよびTrudinger不等式における最良定数は何か？ そして、それらはどのように変分的に特徴づけられるか？
• RQ2 これらの不等式における最良定数は、対応する非線形部分楕円型方程式の基底状態解とどのように関係しているか？
• RQ3 臨界定常Gagliardo-Nirenberg不等式を用いて、階数群上での非線形シュレーディンガー型方程式に対する最小エネルギー解の存在を確立できるか？
• RQ4 Follandのホーラー空間理論は、分層群から一般の同次群へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 階数群上でのBrezis-Gallouet-Wainger不等式の正確な形は何か？ そして、他の臨界定常不等式とどのように関係しているか？

主な発見

• 階数群上での臨界定常Gagliardo-Nirenberg不等式における最良定数は、同次ソボレフ空間上の非自明関数の族におけるエネルギー汎関数の下界として特徴づけられる。
• 臨界定常Trudinger不等式における最良定数は変分的形式で表現され、部分ラプラシアンを含む非線形部分楕円型方程式の基底状態解と関連づけられる。
• 非線形シュレーディンガー型方程式に対する最小エネルギー解の存在は、臨界定常Gagliardo-Nirenberg不等式を用いて確立され、階数群上でのこれらの方程式のための変分的枠組みを提供する。
• 本稿では、Follandのホーラー空間解析を分層群から一般の同次群へ拡張し、部分楕円型方程式の解に対する新たな正則性推定を可能にする。
• 階数群上での臨界定常Brezis-Gallouet-Wainger不等式が導出され、$\r^n$ やヘイゼンベルク群上での既知の結果を一般化する。
• これらの結果は、一般の分層群（同次カルノー群）の文脈において新規かつ鋭いものであり、この文脈で臨界定常不等式の最良定数の最初の完全な特徴づけを提供する。